ECUACIONES DE MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
En general la posición inicial de un movimiento uniforme circular tiene que formar un ángulo nulo con el eje. Cuando esto ocurre aparece un ángulo llamado ángulo o constante de fase el cual es representado por \(\varphi_0\).
En este caso la proyección del objeto sobre el punto \(x\) no será A sino \(x=A.cos(\varphi_0)\) En la siguiente tabla se muestran las ecuaciones generales del movimiento armónico simple:
En las ecuaciones del movimiento armónico simple se cumple que:
\(\omega=\frac{2.\pi}{T}\)
Puesto que el máximo valor que toma la función seno es igual a:
1. a partir de las ecuaciones podemos ver que el valor de la velocidad máxima del objeto es:
\(v_{max}=\omega.A\)
También el valor de la aceleración máxima es:
\(a_{max}=\omega^2.A\)
Ejemplo:
La ecuación para la posición en un movimiento armónico simple es \(x=5*cos(\pi*t-\pi/3)\), con \(x\) expresado en cm y \(t\) expresado en \(s\).
Solución:
Puesto que \(x=A*cos(\omega*t+\varphi_0)\)
Tenemos que \(A\ =\ 5\ cm\)
\(\omega=\pi\)
\(T=\frac{2*\pi}{\omega}=\frac{2*\pi}{\pi*s^{-1}}=2\ s\)
La constante de fase \(\varphi_0\) es \(-\pi/3\) por tanto,
\(x_0=A*cos\varphi_0=5 cm*cos(-\pi/3)=2.5\ cm\)
Podemos entonces concluir que la amplitud del movimiento es \(5\ cm\), el período de oscilación es \(2\ s\) y que en el tiempo \(t=0\), el objeto se encuentra a \(2.5\ cm\) de la posición de equilibrio en la parte positiva del eje \(x\), moviéndose hacia la posición de equilibrio, pues puedes verificar que en \(t=0\), la velocidad es negativa.
Al comparar las ecuaciones de la posición y la aceleración para el movimiento armónico simple, encontramos que la aceleración \(a\) y la elongación \(x\) se relacionan mediante:
\(a=-\omega^2.x\)
De acuerdo con la segunda ley de Newton, \(F=-m.a\). Por lo tanto la fuerza ejercida sobre el objeto de masa \(m\) es:
\(F=-m.\omega^2.x\)
Recuerda que la condición para que un movimiento sea armónico simple es que la fuerza de restitución se pueda expresar como:
\(F=-k.x\)
Por tanto, \(k=m.\omega^2\)
De donde:
\(\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}\)
De donde, el periodo de un movimiento armónico simple se puede expresar como:
\(T=2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}\)
Como en el caso del movimiento de un objeto que oscila, sin fricción, sujeto a un resorte, el periodo de oscilación para este movimiento depende de la masa del objeto y de la constante elástica del resorte.
PREGUNTA: ¿El periodo depende de la amplitud del movimiento?