1 Lección: Desigualdades: Intervalos y solución de desigualdades.

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Desigualdades: Intervalos y solución de desigualdades.

El valor absoluto lo encontramos con frecuencia en ecuaciones con polinomios reales de la forma \mid ax+b\mid=c, en donde a\neq 0. En esos casos hallamos el conjunto solución aplicando la definición de valor absoluto.

Ejemplo:

resolvamos \mid x-2\mid=5

Solución:

Teniendo en cuenta las dos condiciones de la definición de valor absoluto, \mid x-2\mid=5 queda resuelto cuando:

x - 2 = 5 o x - 2 = -5

Para solucionar cada ecuación debemos sumarle 2 a ambos miembros de las igualdades:

x = 5 + 2 o x = - 5 + 2. Así se obtiene:

x = 7 o x = - 3

El conjunto solución de \mid x-2\mid=5\, es\,\{-3,7\}.

Ejemplo 2:

Encontremos el conjunto solución de \mid x-\frac{3}{7}\mid=\frac{11}{14}

Por la definición de valor absoluto tenemos: x-\frac{3}{7}=\frac{11}{14}\, o \, x-\frac{3}{7}=-\frac{11}{14}. Resolviendo cada ecuación se sabe que x=\frac{11}{14}+\frac{3}{7}\, o \, x=-\frac{11}{14}+\frac{3}{7}, de donde x=\frac{17}{14}\, o \, x=-\frac{5}{4}.

El conjunto solución de la ecuación \mid x-\frac{3}{7}\mid=\frac{11}{14}\, es \, {-\frac{5}{14},\,\frac{17}{14}

No siempre existe solución para las ecuaciones con valor absoluto; por ejemplo la ecuación \mid x-8\mid=-3 no tiene solución, puesto que el valor absoluto nunca es negativo.

Para resolver desigualdades con valor absoluto usaremos un método muy parecido al empleado para resolver ecuaciones.

Consideremos primero la desigualdad de la forma \mid x\mid >a. Si a es negativo o cero, la inecuación es verdadera para todo x por definición de valor absoluto. Si a es positivo, esta desigualdad se intrpreta geometricamente como la distancia desde x hasta cero, la cual es mayor que a, esto es \mid x-0\mid >a. Por tanto, tendremos que x > a o x > - a. Por ejemplo, la inecuación \mid x\mid >4 es equivalente a la proposición x > 4 o x < - 4. La interpretación geometrica se muestra en la siguiente figura.

1.9

FIGURA 1. Ejemplo

Ejemplo:

Busquemos el conjunto solución de \mid x+5\mid\geq 2.

para interpretar \mid x+5\mid como la distancia entre dos puntos, escribimos \mid x+5\mid=\mid x-(-5)\mid.

Así el conjunto solución de \mid x+5\mid=\mid x-(-5)\mid\geq 2 debe contener a todos los números reales x, tales que la distancia entre x y -5 sea mayor o igual a 2.

Por tanto, tendremos que:

x-(-5)\geq 2\,\,\,\,\,\, x-(-5)\leq -2

x\geq 2-5\,\,\,\,\,\,\,\, x\leq -2-5

x\geq-3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, x\leq -7.

La gráfica corresponde a la que se ve en la figura.

1.10

FIGURA 2. Ejemplo

En las gráficas de estas desigualdades utilizamos el simbolo \bullet para indicar que el punto pertenece al conjunto solución y el símbolo  \circ cuando el punto no pertenece al conjunto solución.

Consideremos ahora la desigualdad de la forma \mid x\mid <a.

Puesto que \mid x\mid es un número no negativo, esta inecuación  carece de solución cuando a es cero o negativo, por tanto, debe asumirse que a es positivo. Entonces la inecuación \mid x\mid <a significa geométricamente que la distancia desde x hasta cero es menor que a. Es decir, x se encuentra ubicado entre los valores -a y a (excluidos los puntos extremos), lo cual queda expresado mediante la doble inecuación - a < x < a. así, la inecuación \mid x\mid <5 es equivalente a la dobl desigualdad -5 < x < 5. Veamos la interpretación geométrica en la figura.

1.11

FIGURA 3. Ejemplo