1 Lección: Recta tangente a una curva.

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DEFINICIÓN DE LA TANGENTE A UNA CURVA EN UN PUNTO

Se puede definir la recta tangente en un punto de la curva como el límite de las secantes cuando Q tiende a P .

Tan P= \lim_{Q \to P}Sec QP

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CARACTERÍSTICAS DE LA RECTA TANGENTE A UNA CURVA EN UN PUNTO

Para que una recta sea tangente a una curva en un punto P:

1. Basta que pase por ese punto.

2. Sólo puede tener ese punto de contacto con ella.

3. Siempre hay un entorno del punto P en el que la tangente y la curva sólo tienen ese punto en común.

4. La tangente en P deja a la curva en uno de los semiplanos en que la recta divide al plano.

5. Siempre hay un entorno de P en que la recta tangente deja a la curva en uno de los dos semiplanos.

 

PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE A UNA CURVA

Podemos definir la pendiente de la recta tangente a una curva como:

m=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+ \Delta x) - f(x)}{\Delta x}

Ejemplo:

Hallar la pendiente m de la recta tangente a la curva y=x^2+1 en el punto x=3

Solución:

Utilizamos la definición de de límite para calcular la pendiente:

\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+ \Delta x) - f(x)}{\Delta x} PARA y=x^2+1

\lim_{\Delta x\to 0}\frac{(x+\Delta x)^2+1-(x^2+1)}{\Delta x}

=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{x^2+2x\Delta x+\Delta x^2+1-x^2-1}{\Delta x}

=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{2x\Delta x+\Delta x^2}{\Delta x}

=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta x(2x+\Delta x)}{\Delta x}

\lim_{\Delta x\to 0}(2x+\Delta x)=2x

m=2x es la pendiente de la curva y=x^2+1 para cualquier x.

Para el punto x=3 la pendiente es m=2x=2*3=6