5 Lección: Regla de L’ Hopital.

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REGLA DE L’HOPITAL

Dadas dos funciones f ( x ) y g ( x ) continuas y derivables en x = c , si f ( x ) y g ( x ) tienden ambas a cero o a infinito cuando x tiende a c , entonces el límite cuando x tiende a c del cociente de f ( x ) y g ( x ) es igual al límite cuando x tiende a c del cociente de las derivadas de f ( x ) y g( x ), siempre que este límite exista ( c puede ser finito o infinito)

Expresado matemáticamente:

Si \lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{0}{0} ó

\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\infty}{\infty}

Entonces aplicamos la regla de L’hopital:

\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}

Esto significa que tomamos numerador y denominador y derivamos por separado.

Ejemplo:

\lim_{x \to 0} \frac{e^x-e^{-x}}{sen\ (x)}

\lim_{x \to 0} \frac{e^0-e^{-0}}{sen\ (0)}

\lim_{x \to 0} \frac{1-1}{0}

\lim_{x \to 0} \frac{0}{0}

Aplicamos la regla de L’hopital al límite original:

\lim_{x \to 0} \frac{e^x-e^{-x}}{sen\ (x)}

Derivamos tanto numerador como denominador

\lim_{x \to 0} \frac{e^x-(-1)e^{-x}}{cos\ (x)}

\lim_{x \to 0} \frac{e^x+e^{-x}}{cos\ (x)}

\lim_{x \to 0} \frac{e^0+e^{-0}}{cos\ (0)}

\lim_{x \to 0} \frac{1+1}{1}

\lim_{x \to 0} \frac{2}{1}

\lim_{x \to 0}=2