MATEMÁTICAS 11: 5 Lección: Integración inmediatas.: Integración inmediatas

5 Lección: Integración inmediatas.

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EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE INTEGRALES

EJEMPLO PRACTICO 1:

Hallar el área del trapecio determinado por la recta de ecuación $y=x+1$ , el eje OX, la recta $x=0$ y $x=1$ . Calcular esta área geométricamente y comprobar que coincide con el valor de la integral definida $\int_0^1 (x+1)dx$

=0=0

FIGURA 1. Area

Geométricamente tenemos un trapecio: Si observamos está formado por un cuadrado de base 1 y altura 1, y un rectángulo de base 1 y altura 1. El Área de un cuadrado se define por A=base*altura y la del triangulo A=(base*altura)/2. Por tanto tenemos que el área del trapecio es:

$A=1*1+\frac{1*1}{2}$

$A=1+\frac{1}{2}$

$A=\frac{3}{2}$

Ahora comprobaremos por medio de la aplicación de la integral:

$\int_0^1(x+1)dx$

$\frac{x^2}{2}\mid_0^1+x\mid_0^1$

$(\frac{1^2}{2}-\frac{0^2}{2})+(1^2-0^2)$

$(\frac{1}{2}-0)+(1-0)$

$\frac{1}{2}+(1)$

$A=\frac{3}{2}$

EJEMPLO PRACTICO 2:

Determinar el área del recinto limitado por las curvas $f(x)=x^3-3x+8$ y $g(x)=-3x$ en el intervalo [-3,0].

Realizamos la gráfica de cada una de las funciones sobre el mismo plano:

FIGURA 2. Ejemplo

Se puede observar que el área bajo la curva se debe determinar sumando las dos áreas que resultan en la gráfica en los intervalos [-3,-2] y [-2,0].

Al plantear debemos tener en cuenta cual función limita por arriba el área a determinar y cual la limita por debajo.

Entonces:

En el intervalo [-3,-2] la función que limita por encima al área es $g(x)=-3x$ y por debajo la limita $f(x)=x^3-3x+8$ .

Sin embargo, en el intervalo [-2,0] la región está limitada superiormente por la función $f(x)=x^3-3x+8$ e inferiormente por la función $g(x)=-3x$ .

Entonces planteamos:

$\int_{-3}^{-2} g(x)-f(x)dx + \int_{-2}^0 f(x)-g(x)dx$

$\int_{-3}^{-2} (-3x)-(x^3-3x+8)dx + \int_{-2}^0(x^3-3x+8)-(-3x)dx$

$\int_{-3}^{-2} (-x^3-8)dx + \int_{-2}^0(x^3+8)dx$

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