EL LENGUAJE DE LA GEOMETRÍA
Figura 1. Observación del cielo.
Al contemplar el firmamento en una noche estrellada, veremos el cielo lleno de multitud de puntos luminosos. En la antigüedad, la observación del cielo hacia parte de las actividades cotidianas, por lo que la habilidad para identificar, a primera vista, una serie de estrellas era reconocida. Para poder encontrar rápidamente una estrella, nuestros antepasados imaginaban lineas que encerraban una zona conocida. Así, fueron agrupando estrellas en constelaciones cuyos nombres, extraídos de la mitología, fueron llenando el plano del cielo que tenían sobre sus cabezas.
Punto, línea y plano son precisamente los términos con lo que se construye la geometría euclidiana. Aun cuando no podemos definirlos, todos tenemos idea de que los son, por ejemplo:
Un punto no tiene dimensión ni medida, pero sí una posición. Se representa por una marca redonda, tan pequeña como sea posible, y se nombra usando una letra mayúscula.
Figura 2. Punto A.
Una recta tiene una dimensión y está formada por infinitos puntos que se extienden sin fin en una misma dirección. Se nombra usando una letra minúscula o dos puntos que estén ubicados sobre ella.
Figura 3. Recta.
Un plano tiene dos dimensiones y pese a que se extiende sin fin a lo largo y ancho, se representa mediante una figura plana. Se nombra con una o varias letras mayúsculas.
Figura 4. Plano.
Espacio es el conjunto de todos los puntos.
En las anteriores nociones hemos dado, para cada caso, una seria de propiedades que intuitivamente asumimos tienen estos objetos.
Con esos tres términos no definidos se construyen definiciones y postulados.
Figura 5. Definición.
Por ejemplo: rayo o semirecta (AB) es la porción de una recta que contiene un punto A dado y todos los puntos de la recta que están en el mismo lado de A, como B en la siguiente figura.
Figura 6. Rayo.
Figura 7. Postulado.
Algunos postulados de la geometría euclidiana son:
- Dos puntos diferentes determinan una y sólo una recta qeu pasa por ellos.
- En cada recta hay la menos dos puntos. Existen al menos tres puntos que no pertenecen a una misma recta.
- Cualesquiera que sean tres puntos que no pertenecen a una misma recta, existe un plano que contiene a los tres puntos. En cada plano hay al menos tres puntos que no están sobre la misma recta.
- Si dos puntos de una recta pertenecen a un plano, entonces todo punto de la recta pertenece al plano.
- Si dos planos tienen un punto en común, tienen al menos otro punto en común.
-Existen al menos cuatro puntos que no pertenecen a un mismo plano.
A lo largo de la unidad y en los ejercicios, introduciremos las definiciones y postulados que necesitemos.
PREGUNTA: "Si dos puntos están en un plano, entonces la recta que determinaba está en el plano". El anterior enunciado concuerda con la definición de: