PROBABILIDAD DE EVENTOS COMPUESTOS.
Lina y Pilar son dos estudiantes de un mismo curso, que inician el aprendizaje de la probabilidad. Ellas deben proponer problemas para calcular probabilidad. Ellas deben proponer problemas para calcular probabilidades de eventos. Acuerdan tomar como experimento el lanzamiento de un dado y hallar: la probabilidad de obtener un número primo, de obtener un número primo o compuesto, de obtener un número primo o compuesto y la probabilidad de obtener un número primo o un número impar.
El espacio muestral del experimento "lanzar un dado" es:
EM(lanzamiento de un dado) = \(\{1,2,3,4,5,6,\}\)
- Para calcular la probabilidad de obtener un número primo al lanzar un dado tenemos:
Evento "número primo" = E1 = \(\{2,3,5\}\)
\(\mathcal{P}(numero\,primo)=\frac{Numero\,de\,elementos\,de\,\{2,3,5\}}{numero\,de\,elementos\,de\,EM}\)
\(\mathcal{P}(E1)=\frac{3}{6}\)
\(\mathcal{P}(E1)=\frac{1}{2}\)
- En el caso de hallar la probabilidad de obtener un número compuesto al lanzar un dado resulta que:
Evento(número compuesto)=\(\frac{Numero\,de\,elementos\,de\,\{4,6\}}{Numero\,de\,elementos\,de\,EM}\)
\(\mathcal{P}(E2)=\frac{2}{6}\)
\(\mathcal{P}(E2)=\frac{1}{3}\)
- La probabilidad de obtener un número primo o un número compuesto al lanzar un dado, es un problema que no hemos realizado antes. Analicemos:
El espacio muestral de este evento es \(\{2,3,4,5,6\}\). Por tanto, debemos calcular la probabilidad de la unión de dos eventos, por que lo que hemos hecho es escribir la unión de \(\{2,3,5\}\) y \(\{4,6\}\) \(\(\{2,3,5\}\cup\{4,6\}=\{2,3,4,5,6\}\)\). Sin embargo los dos eventos no pueden producirse simultáneamente por que la ocurrencia de uno excluye la del otro, pues un número no puede ser primo y a la vez compuesto. Es lo mismo que decir que \(\{2,3,5\}\cap\{4,6\}\ =\ 0\), es decir, que los eventos no tienen elementos comunes.
A los dos eventos con esta característica los llamamos eventos incompatibles.
La probabilidad del evento \(\{2,3,4,5,6\}\) es \(\frac{5}{6}\); por tanto: \(\frac{5}{6}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\).
\(\mathcal{P}(E_1\cup E_2)\ =\ \mathcal{P}(numero\,primo\,o\,compuesto)\)
\(=\mathcal{P}(numero\,primo)\ +\ \mathcal{P}(numero\,compuesto)\)
\(\mathcal{P}(E_1)\ +\ \mathcal{P}(E_2)\ =\ \frac{1}{2}\ +\ \frac{1}{3}\ =\ \frac{5}{6}\)
PREGUNTA: ¿?