PROGRESIONES GEOMÉTRICAS
Analicemos la siguiente situación:
La pelota elástica de la figura rebota hasta una altura equivalente a \({2\over 5}\) la altura desde la cual se deja caer. Si se deja caer desde una altura de \(1000cm\) y rebota 5 veces, hagamos una lista con las alturas alcanzadas por la pelota, desde el comienzo.
\(1000, 400, 160, 64, 25.6, 10.24\)
Relacionemos cada altura de la siguiente manera:
La primera altura es aquella desde la cual fue dejada caer y se nota \(h_1=1000cm\).
La segunda altura es alcanzada en el primer rebote y se nota \(h_2=400cm\).
La tercer altura la alcanza la pelota en el segundo rebote y es \(h_3=160cm\).
Podemos notar que:
1.\({h_2 \over h_1}={h_3 \over h_2}={h_4 \over h_3}={2 \over 5}\)
2.Además, de acuerdo con los datos y elasticidad de la pelota:
\(h_1=1000cm\) \(h_2={1000*2 \over 5}=400cm\)
\(h_3={400*2 \over 5}=160cm\) \(h_4={160*2 \over 5}=64\)
Si se supone que la pelota continua rebotando indefinidamente,se puede escribir la siguiente secuencia de alturas alcanzadas en los sucesivos rebotes:
\(1000, 400, 160, 64, 25.6,\) …
Una sucesión en la cual cada término es igual al anterior multiplicando por un valor constante, se llama progresión geométrica. En forma equivalente, una progresión
geométrica es una sucesión en la cual el cociente de cada termino y el anterior, esto es, \({a_n \over a_{n-1}}=r\). con \(r\) constante. El valor \(r\) se llama la
razón de la sucesión geométrica.
Veamos ahora cómo podemos hallar una expresión para el término general de una progresión geométrica.
En el cociente \({a_n \over a_{n-1}}\) entre valores consecutivos es siempre el factor de rebote de la pelota, entonces \(a_n={2 \over 5}*a_{n-1}\)y,de esa
manera,nos queda la sucesión nombrada por recurrencia.
El n-ésimo término queda expresado como \(a_n=1000*({2 \over 5})^{n-1}\)
Podemos concluir que si \(r\) es el cociente constante entre \(a_n\) y \(a_{n-1}\) , el n-ésimo termino de la sucesión puede escribirse como:
\(a_n=a_{n-1}*r\) o también \(a_n=a_1*r^{n-1}\)
Ejemplo:
Encontremos el primer termino de una progresión geométrica, en al que el quinto termino es \(0,0009\) y la razón es \(1/10\). Luego, escribamos los seis primeros de tal progresión.
Como \(a_5=a_1*r^{5-1}\), entonces: \(0,0009=a_1*{1 \over 10}^{4}\)
Es decir: \(9*10^{-4}= a1*10^{-4}\).
Luego \(9=a_1\)
Los seis primeros términos de la progresión son: \(9, 0.9, 0.09, 0.009, 0.0009, 0.00009\).
Cuando es necesario conocer los términos de una progresión geométrica que se encuentran entre dos elementos conocidos de ella, se procede en forma análoga a como se hizo con una progresión aritmética.
En una progresión geométrica los términos entre el primero y el n-ésimo se llaman medios geométricos
entre \(a_1\) y \(a_n\).
El cuarto y el octavo términos de una progresión geométrica son \(9\) y \(144\), respectivamente. ¿cuáles son los términos intermedios?
Una progresión que se va a “completar” tiene la siguiente forma:
\(a_1, a_2, a_3, a_4=9, a_5, a_6, a_7, a_8=144, a_9, a10,\) …
podemos considerar otra progresión geométrica donde el primer termino sea \(9\), es decir, \(a_4\) así:
\(b_1=9\, y \,b_5=144,\) entonces:
\(b_5=b_1*r^{5-1},\) es decir \(144=9*r^{4}\)
\(16=r^{4}\) , por tanto extrayendo raíz cuarta obtenemos: \(r=+/-2\).
Es decir que \(r=2\, o\, r=-2\) y para cada razón hay una progresión con el primero y el cuarto términos dados; ellas son:
\(9, 18, 36, 72, 144,\) … En este caso los términos intermedios son \(18, 36, 72\).
\(9, -18, 36, -72, 144,\) … Aquí los términos intermedios son \(-18, 36, -72\).
Si un medio geométrico entre dos números dados \(a\) y \(b\), cumple que \(a, b, m,\) … es una progresión geométrica, entonces \(r={m \over a}={m \over b}\), así \( m^{2}=ab\).
Como hay dos valores de \(m\) que hacen verdadera la igualdad \(m^{2}=ab\), se acepta que:
– Si \(a\) y \(b\) son positivos, entonces \(m=\sqrt{ab}\).
– Si \(a\) y \(b\) son negativos, entonces \(m=-\sqrt{ab}\).
– Si \(a\) y \(b\) tiene signos contrarios, entonces \(m\) no existe.
En una progresión geométrica \(a_1={2 \over 5}, a_3={9 \over 10}\); encontremos el medio geométrico entre ellos.
Como la progresión \(a_1, m, a_3,\) … es geométrica, entonces \(r={m \over a1}={a_3 \over m}\).
Por tanto \(m^{2}=a_1*a_3\,o\,m=\sqrt{a_1*a_3}\)
Luego, como \(a_1\) y \(a_3\) son ambos positivos:
\(m=\sqrt{{2 \over 5}*{9 \over 10}}=\sqrt{18 \over 50}=\sqrt{9 \over 15}\).
\(m={3 \over 5}\).
Hallemos el décimo termino de la seria asociada a la sucesión \({1 \over 16}, {1 \over 8}, {1 \over4 }, {1 \over 2} , 1, 2\)...
Para la sucesión \({1 \over 16}, {1 \over 8}, {1 \over4 }, {1 \over 2} , 1, 2\)... el décimo término de la serie es:
\(S_{10}={1 \over 16}*{1-2^{10} \over 1-2}={1 \over 16}*{1-1024 \over -1}\)
\(S_{10} = {1023 \over 16}\).
Encontremos el séptimo término de la serie geométrica asociada a la sucesión geométrica \(2, 0.2, 0.02, 0.002\).
En la sucesión geométrica \(2, 0.2, 0.02, 0.002\). el séptimo termino de la serie geométrica asociada es:
\(S_7=2({1-0.1^{7} \over 1-0.1})=2({1- 0.0000001 \over 0.9})=2({0.9999999 \over 0.9})=2(1.111111)\)
\(S_7=2.222222\).
PREGUNTA: Determinar cual de las sucesiones siguientes no es una progresión geométrica: