LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA.
Consideremos la siguiente sucesión geométrica de razón positiva \(3\):
\(1,9,27,81,243,729,2187,\) …
Expresemos cada termino como potencia de la razón:
\(3^{0},3^{1},3^{2},3^{3},3^{4},3^{5},3^{6},3^{7},\)…
Observemos que los exponentes de la razón conforman la sucesión de los números naturales comenzando en cero.
Con base en estas sucesiones podemos plantear las siguientes igualdades:
\(log_3 81=log_3 3^{4}=4\).
Consideremos otra sucesión geométrica de razón positiva \({1\over 2}\).
\(1,{1 \over2},{1 \over 4},{1 \over 8},{1 \over 16},{1 \over 32},{1\over 64},{1\over 128},\) …
Expresemos cada termino como una potencia de \({1 \over 2}\):
\({1 \over 2}^{0},{1 \over 2}^{1}, {1 \over 2}^{2}, {1 \over 2}^{3}, {1 \over 2}^{4}, {1 \over 2}^{5}, {1 \over 2}^{6}, {1 \over 2}^{7}\),
La razón de esta seria geométrica es \({1 \over 2}\) y los exponentes constituyen la sucesión de los números naturales comenzando en cero. De acuerdo con estas sucesiones podemos plantear el siguiente logaritmo.
\(log_{1\over 2} {1\over 32}=log_{1 \over 2}{1 \over 2}^{5}=5\)
De manera general podemos expresar.
El logaritmo en base \(r\) del término n-ésimo de una progresión geométrica es \(n\), para \(n\) є \(N\) si:
– \(r\) es la razón de la progresión geométrica.
– \(N\) es el exponente al cual se tiene que elevar la razón, para obtener el término.
Consideremos ahora la sucesión geométrica:
… \({1\over 729}, {1\over 243}, {1\over 81}, {1\over 27}, {1\over 9}, {1\over 3}, {1}, {3}, {9}, {27}, {81}, {243}, {729},\) …
Expresémosla en potencias de \(3\).
… \({1 \over 3^{6}}, {1 \over 3^{5}}, {1 \over 3^{4}}, {1 \over 3{3}}, {1 \over 3{2}}, {1 \over 3{1}}, 3^{2}, 3^{1}, 3^{2}, 3^{3}, 3^{4}, 3^{5}, 3^{6}\)…
Ahora escribamos los exponentes así:
… \({1 \over 3^{-6}}, {1 \over 3^{-5}}, {1 \over 3^{-4}}, {1 \over 3^{-3}}, {1 \over 3^{-2}}, {1 \over 3^{-1}}, 3^{0}, 3^{1}, 3^{2}, 3^{3}, 3^{4}, 3^{5}, 3^{6}\)…
Si aceptamos que el conjunto de los números enteros es una “sucesión aritmética de razón \(1\)”, y analizamos que los exponentes de la razón \((r=3)\) son los números enteros, entonces podemos plantear la siguiente expresión logarítmica:
\(log_3{1 \over 9}=log_3 3^{-2}=-2\)
\(log_3 1= log_3 3^{2}=0\)
Es decir, relacionando el exponente de la razón, \((r)\) y la operación logaritmo en base r, encontramos que el fenómeno se repite y por eso podemos afirmar que, en general, se cumple:
\(k\) es el logaritmo en base \(r\) del n-ésimo término de una progresión geométrica donde:
– \(1\) es uno de los términos de la sucesión.
– \(K\) es el exponente al cual se tiene que elevar al razón, \(k\) є \(Z\).
Comparemos la sucesión aritmética de los racionales con razón \({1\over2}\) con la sucesión geométrica que se da:
…\({-5\over 2}, -2,{-3 \over 2}, -1, {-1 \over 2}, 0, {1 \over 2}, 1, {3 \over 2}, 2, {5 \over 2},\) …
… \({1 \over 9} \sqrt{3}, 1/9, {1 \over 3 \sqrt{3}}, {1 \over 3}, {1\over \sqrt{3}}, 1, \sqrt{3}, 3, 3 \sqrt{3}, 9, 9 \sqrt{3},\) …
… \(3^{-5 \over 2}, 3^{-2}, 3^{-3 \over 2}, 3^{-1}, 3^{-1 \over 2}, 3^{0}, 3^{1 \over 2}, 3^{1}, 3^{3 \over 2}, 3^{2}, 3^{5 \over 2},\) …
Una vez mas se repite el fenómeno; por eso podemos afirmar que, en general, se cumple: cada término de una sucesión aritmética es el logaritmo en base r del término correspondiente de una sucesión geométrica con razón r siempre y cuando:
– Cada termino de la sucesión aritmética con cero como uno de sus términos, es el exponente al cual debe elevarse la razón de la sucesión geométrica.
– \(1\) debe ser el termino que corresponde a \(0\).
El logaritmo en base b de un número real positivo A es el exponente al cual se debe a \(b\) para obtener el número \(A\). La expresión \(x=log_b A\) es equivalente a \(b^{x}=A\).
Encontremos \(log_3({1 \over 243})\).
Sabemos que \(243=3^{5}\). Como \({1 \over 243}={1 \over 3^{5}} =3^{-5}\).
Luego: \(log_3 3^{-5}=-5\).
De acuerdo a las condiciones de las sucesiones geométricas y aritméticas comparadas, aparecen ciertas características para el logaritmo de un numero real:
– La base de todo logaritmo es un número real positivo diferente de \(1\), por cuanto la base es la razón de la progresión geométrica.
– Sólo los números reales positivos tiene logaritmo con base positiva.
– Para cualquiera que sea la base, el logaritmo de \(1\) es siempre \(0\).
– Como el numero \(0\) no es un elemento de las progresiones , geométricas con razón positiva, entonces \(0\) no tiene logaritmo en base alguna.
– El logaritmo en base \(b\) del numero \(b\) es \(1\), para cualquier numero real b positivo, diferente de \(1\).
– Si la base es mayor que \(1\), entonces el logaritmo de los números de una secuencia aumenta a medida que aumentan los números de esta.
– Si la base es menos que \(1\), entonces el logaritmo de los números de una secuencia disminuye a medida que lo números de esta crecen.
De acuerdo a las anteriores propiedades descritas, construimos la función logarítmica con base a, con a positivo y diferente de \(1\);
\(f(x)=log_a(x)\)
Propiedades de los logaritmos:
Si M y N son dos números reales positivos y a es un número real positivo, diferente de 1,y k un numero real, entonces:
1.\(log_a M*N=log_a M+log_a N\)
2.\(log_a{M \over N}=log_a M-log_a N\)
3.\(log_a M^{k}=k*log_a M\)
4.\(log_a{1 \over M}=-log_a M\).
5.\(log_a \sqrt{M}k={log_a M}\over k}\)
Ejemplo:
Encontremos el valor de la incógnita:
\(log_3 x+log_3(x-8)=2\)
\(log_3 x+log_3 (x-8)=2\) es equivalente a \(log_3 x(x-8)=2\).
Por la definición de logaritmo: \(x(x-8)=3^{2},\)luego\(x(x-8)=9\)
\(x^{2}-8x-9=0\),de donde obtenemos \((x-9)(x+1)=0\)
Por tanto, \(x=9\) 0 \(x=-1\).
El resultado \(x=-1\) no es válido debido a que los logaritmos de números negativos no existen.
PREGUNTA: calcular el valor de \(x\) en la ecuación dada:
\(log_{10}(x+3)=2\)