MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

En la figura anterior se muestra la evolución en el tiempo, del desplazamiento o elongación, \(x\) en color azul, la velocidad \(v\), en color rojo y la aceleración \(a\) en color verde,  de un cuerpo que se mueve con movimiento armónico simple.

Observa que en todos los casos, la fuerza está dirigida hacia la posición de equilibrio, por lo cual se llama fuerza de restitución.

Un tipo especial de movimiento oscilatorio es el llamado movimiento armónico simple, en el cual se desprecia la fricción y el valor de la fuerza de restitución es directamente proporcional a la elongación. A todo cuerpo que describe un movimiento armónico simple se le llama un oscilador armónico.

Como los vectores fuerza y elongación se orientan en direcciones contrarias podemos relacionar fuerza y elongación mediante la siguiente expresión:

\(\Huge F\ =\ -kx\)

Así, cuanto mayor es el estiramiento o la compresión: \(x\), mayor será el valor de la fuerza. Cuando el objeto se encuentra en la posición de equilibrio, la fuerza aplicada es igual a cero. Un ejemplo de movimiento armónico simple es el que describe un objeto que oscila atado a un resorte cuando no hay fricción puesto que la fuerza de restitución ejercida por el resorte es directamente proporcional al estiramiento o compresión, lo cual de acuerdo con la ley de Hooke, se expresa como:

\(\Huge F\ =\ -kx\)

Recuerda que \(\Large k\) es la constante elástica del resorte, lo cual se expresa en \(\Large N/m\).

La forma en que oscila un objeto suspendido de un resorte en posición vertical es aproximadamente igual a la de uno que se encuentra sujeto a un resorte en posición horizontal, aunque existe una variación en la posición de equilibrio.

PROYECCIÓN DE UN MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME

El movimiento armónico simple es una proyección del movimiento circular uniforme a lo largo del diámetro del circulo que describe.

El Movimiento Circular Uniforme \(\left(M.C.U.\right)\), es aquel en el que el móvil se desplaza en una trayectoria circular (una circunferencia o un arco de la misma) a una velocidad constante. Se consideran dos velocidades, la rapidez del desplazamiento del móvil y la rapidez con que varía el ángulo en el giro.

Para encontrar las ecuaciones de la posición, la velocidad y la aceleración de un movimiento armónico simple, consideramos un modelo a partir del movimiento circular uniforme. Supongamos que un objeto se mueve sobre una mesa con velocidad angular constante \(\omega\) y describe un circulo de radio \(A\).

El objeto de masa \(m\), visto desde arriba, se mueve con rapidez constante y describe una trayectoria circular de radio \(A\). Un observador situado a la altura de la mesa puede describir el objeto con movimiento circular uniforme desde el eje \(x\). La proyeccion del objeto describe, sobre el eje \(x\), un movimiento oscilatorio de amplitud \(A\) cuya posición de equilibrio es el punto \(0\).

POSICIÓN EN UN M.A.S.

Cuando el objeto se encuentre en el punto \(Q\), desplazado con respecto a la línea \(OP\), un ángulo \(\theta\), tenemos que:

\(\Huge x\ =\ A*cos(\theta)\)

Si, en un tiempo \(t\) el objeto ha realizado un desplazamiento angular \(\theta\), con respecto a la línea \(OP\), con velocidad angular constante \(\omega\), dicho desplazamiento se expresa como \(\Large \theta\ =\ \omega * t\). Por tanto la elongación, \(x\), en el movimiento oscilatorio es:

\(\Huge x\ =\ A*cos(\omega.t)\)

A continuación se muestra gráficamente la variación de la posición con respecto al tiempo de la proyección del objeto:

En la grafica, \(T\) indica la posición correspondiente a un periodo del movimiento.

VELOCIDAD EN UN M.A.S.

Analicemos ahora que sucede con la velocidad en la proyección de movimiento circular uniforme. La velocidad lineal, \(v\), del cuerpo que describe el movimiento circular uniforme es tangente a la trayectoria.

La velocidad de la proyección del objeto sobre el eje \(x\), vista desde el borde de la mesa, se expresa como:

\(\Huge v_x\ =\ -v.sen(\omega.t)\).

El signo menos de la expresión se debe a que la velocidad de la proyección esta orientada en la dirección negativa del eje \(x\).

Como la velocidad tangencial y la velocidad angular en un movimiento circular se relacionan mediante \(v=\omega.A\) podemos expresar la velocidad del objeto proyectada sobre el eje \(x\), como

\(\Huge v_x\ =\ -\omega * A*sen(\omega.t)\)

La anterior expresión muestra que la velocidad del movimiento de la proyección del movimiento circular uniforme, varia de tal manera que es máxima en los extremos \(y\) es igual a cero en el centro de la trayectoria.

A continuación se muestra gráficamente la variación de la VELOCIDAD con respecto al tiempo de la proyección del objeto:

ACELERACIÓN EN UN M.A.S.

Considera el objeto que describe la circunferencia. Recuerda que la aceleración que este experimenta es centrípeta.

Para el observador a la altura de la mesa, la aceleración del movimiento sobre el eje \(x\), es la componente de la aceleración centrípeta sobre el mismo eje, así que la aceleración del movimiento de la proyección es:

\(\Huge a\ =\ -a_c*cos(\omega.t)\)

Recuerda que la aceleración centrípeta se expresa como:   \(\Large a_c\ =\ \frac{v^2}{A}\)

Donde \(v\) es la velocidad y \(A\) es el radio de la trayectoria. Como \(Large \ v\ =\ \omega.A\), la aceleración centripeta es, \(\Large a_c\ =\ \omega^2.A\). Tenemos entonces que la aceleración del movimiento de la proyección se expresa como:

\(\Huge a\ =\ -\omega^2.A.cos(\omega.t)\)

Al comparar las ecuaciones obtenidas para la posición y la aceleración del movimiento circular proyectado sobre el eje \(x\), a saber:

\(\Large x=A.cos(\omega.t)\)
\(\Large a=-\omega^2.A.cos(\omega.t)\)

Tenemos que la aceleración se expresa como \(\Large a=-\omega^2x\)

Por tanto la fuerza que actúa sobre un objeto que describe un movimiento oscilatorio como el de la proyección del movimiento circular uniforme, de acuerdo con la segunda ley de Newton, \(\Large F\ =\ m.a\) se puede expresar como:

\(\Large F\ =\ m(-\omega^2x)\). De donde, \(F\ =\ -m\omega^2x\).

A continuación se muestra gráficamente la variación de la ACELERACIÓN con respecto al tiempo de la proyección del objeto:

Como la masa es constante y la velocidad angular también lo es, la cantidad \(m.\omega^2\) es constante, lo cual muestra que si un cuerpo describe un movimiento como el de la proyección del movimiento circular uniforme, la fuerza \(F\) es proporcional a la elongación \(x\), en consecuencia, el movimiento de la proyección de un movimiento circular uniforme es armónico simple.

Para ver las representaciones gráficas de la posición, velocidad y aceleración con respecto al tiempo; en un movimiento armónico simple, siga este enlace:

SIMULACIÓN

PREGUNTA: Un oscilador armónico simple tiene una velocidad angular de \(5\ rad/s\), una masa de \(2\ kg\) y su movimiento tiene una amplitud de \(2\ m\) . La aceleración y la fuerza que actúa sobre el objeto a los \(0\) segundos son: