PENDULO SIMPLE
Un péndulo simple es un cuerpo que se encuentra suspendido de un hilo considerado de masa despreciable que oscila en forma periódica con una aceleración que es proporcional al punto central y dirigido hacia él.
En la figura se muestra un péndulo en la posición de equilibrio, en reposo, donde la tensión \(T\) del hilo se anula con el peso \(w\), del cuerpo. Una vez puesto en movimiento, el cuerpo pasa periódicamente por la posición de equilibrio.
En la figura se muestra la tensión del hilo y el peso del cuerpo. La fuerza de restitución hace que el péndulo vaya hacia la posición de equilibrio. Esta fuerza, \(F\), es la componente del peso, tangencial a la trayectoria, tal como se indica y cuyo valor es:
\(w_t=-w.sen (\alpha)\)
Luego \(F=-wsen(\alpha)=-mg sen (\alpha)\)
Para ángulos menores de 10º, expresados en radianes, el seno de un ángulo tiene la propiedad de ser prácticamente igual a la medida de dicho ángulo. Por lo tanto, para ángulos pequeños, tenemos que: \(sen(\alpha)=\alpha\)
De ahí que la expresión, \(F=-mg sen (\alpha)\), es equivalente a: \(F=-mg \alpha\).
Como la longitud \(x\) del arco, el radio l y el ángulo \(\alpha\) se relacionan mediante \(x=l \alpha\), entonces,
\(F=-mg \frac{x}{l}\)
Esta expresión indica que en el movimiento del péndulo, para amplitudes angulares menores de 10º la fuerza de restitución, F, es proporcional a la elongación, x, lo cual nos permite concluir que, para amplitudes angulares pequeñas (menores de 10º), el movimiento del péndulo es aproximadamente de tipo armónico simple.
Puesto que para un movimiento armónico simple \(F=-kx\), en el caso del péndulo simple tenemos que,
\(k=\frac{mg}{l}\)
Igualmente, dado que en un movimiento armónico simple, \(k=mv^2\), entonces
\(\frac{mg}{l}=mv^2\)
Luego, \(v=\sqrt{\frac{g}{l}}\). Ahora, sabemos que \(v=\frac{2 \pi}{T}\)
De donde obtenemos:
\(T=2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}\)
Por lo tanto el periodo de oscilación del péndulo:
LA ENERGÍA
En los extremos A y A’ de la trayectoria del péndulo mostrado en la figura, la energía cinética es igual a cero y la energía potencial gravitacional, medida con respecto al nivel de la posición mas baja de la trayectoria, es diferente de cero. En la posición de equilibrio \(O\), la energía cinética es diferente de cero y la energía potencial gravitacional es igual a cero, debido a que la altura con respecto al nivel de referencia es cero, En este movimiento, en ausencia de fricción, la energía mecánica se conserva, es decir, que cuando el cuerpo del péndulo se mueve desde un extremo de la trayectoria a la posición mas baja de esta, la energía potencial gravitacional se transforma en energía cinética, por tanto en la posición \(O\), el objeto se mueve con velocidad máxima.
Ejemplo 1: Con el fin de determinar el valor de la aceleración de la gravedad, se realizaron una serie de mediciones del periodo de oscilación de un péndulo, modificando la longitud del hilo en los diferentes ensayos. Los datos obtenidos se muestran en la siguiente tabla.
Calcula el valor de la aceleración de la gravedad para \(l = 0.6 m\) y \(T= 1.55 s\).
Solución:
Puesto que, \(T=2*\pi*\sqrt{\frac{l}{g}}\)
tenemos que \(g=\frac{4*\pi^2*l}{T^2}\)
Por tanto, \(g=\frac{4*\pi^2*0.6 m}{(1.55 s)^2}=9.85 m/seg^2\)
PREGUNTA: Asumiendo a la aceleración de la gravedad con un valor de \(10m/s^2\), el periodo de un péndulo, con una longitud de \(40\ m\), es: