MATEMÁTICAS.: 3 Lección: Las funciones senƟ y cosƟ.: Las funciones senƟ y cosƟ

3 Lección: Las funciones senƟ y cosƟ.

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FUNCIÓN SENO

Se considera la función $f(x)=sen\, x$ , donde $x$ es el valor de un ángulo medido en radianes, por lo que $x$ , puede ser cualquier número real y $f(x)$ es el valor del seno del ángulo $x$ .

Cuando el ángulo es mayor que $2\pi$ o menor que cero, el valor de $sen\, x$ se puede reducir según ya estudiamos, a un valor correspondiente de $x$ , pero comprendido entre 0 y $2\pi$ radianes. Así, la gráfica de $f(x)=sen\, x$ tendrá la siguiente forma:

...

...

...

$-\frac{\sqrt{2}}{2}$

$-\frac{\sqrt{3}}{2}$

-1

$-\frac{\sqrt{3}}{2}$

$-\frac{\sqrt{2}}{2}$

$-\frac{1}{2}$

...

TABLA N°1. Valores de la función seno.

graficaseno

FIGURA 1. Función seno

Del análisis de la gráfica se deducen las siguientes propiedades:

Dom $(sen\, x)=\mathbb{R}$
Rang $(sen\, x)=[-1,\, 1]$
La función $y=sen\, x$ es impar ya que $sen\, (-x)=-sen\, x$
La función $y=sen\, x$ es periódica y su período es $t=2\pi$ puesto que se cumple que $sen\, x=sen\,(x+2k\pi),\, k\in\mathbb{Z}$
La función $y=sen\, x$ es estrictamente creciente en los intervalos $(-\frac{\pi}{2},\,\frac{\pi}{2}),\, (\frac{3\pi}{2}),\,\frac{5\pi}{2}),\cdots$ y es estrictamente decreciente en los intervalos $(-\frac{3\pi}{2},\, -\frac{\pi}{2}),\, (\frac{\pi}{2},\,\frac{3\pi}{2}),\cdots$
La función $y=sen\, x$ no es inyectiva pues $sen\, x_1=sen\, x_2$ no implica que $x_1=x_2$ .
La función $y=sen\, x$ no es sobreyectiva porque $Rang\, (sen\, x)\neq\mathbb{R}$
La función $y=sen\, x$ es acotada ya que $-1\leq sen\, x\leq 1$ alcanza su valor máximo en $x=\frac{\pi}{2}+2k\pi$ y su valor mínimo para $x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi,\, k\in\mathbb{Z}$
La función $y=sen\, x$ se anula para $x=0,\,\pi,\, 2\pi,\cdots,\, k\pi$ . Esto es $sen\, k\pi=0,\, k\in\mathbb{Z}$ .

FUNCIÓN COSENO

De forma análoga a como se ha analizado el comportamiento de la función seno, se realiza el estudio de la función coseno, en el caso de $0\leq x\leq 2\pi$ y se amplía después para todo $x\in\mathbb{R}$ . La gráfica que se muestra a continuación se obtiene de la siguiente tabla de valores conocidos: