MATEMÁTICAS.: 4 Lección: Las funciones tanƟ, cotƟ, secƟ, cscƟ. : Las funciones tanƟ, cotƟ, secƟ, cscƟ

4 Lección: Las funciones tanƟ, cotƟ, secƟ, cscƟ.

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FUNCIÓN TANGENTE

Para dibujar la gráfica de la función $f(x)=tan\, x$ , recurrimos a una tabla de valores de $tan\, x$ en el caso:

...

$-\frac{\pi}{2}$

$-\frac{\pi}{3}$

$-\frac{\pi}{4}$

0

$\frac{\pi}{4}$

$\frac{\pi}{3}$

$\frac{\pi}{2}$

$\frac{2\pi}{3}$

$\frac{3\pi}{4}$

$\frac{5\pi}{6}$

$\frac{5\pi}{4}$

$\frac{4\pi}{3}$

$\frac{3\pi}{2}$

$\frac{5\pi}{3}$

$\frac{7\pi}{4}$

...

...

No existe

-1

0

1

No existe

-1

$-\frac{\sqrt{3}}{3}$

0

1

No existe

-1

0

...

TABLA N°1. Valores de la función tangente

graficatan

FIGURA 1. Función tangente

Del análisis de la gráfica se deducen las siguientes propiedades:

Dom $(tan\, x)=\mathbb{R}-\{(2k+1)\frac{\pi}{2},\, k\in\mathbb{Z}}$
Rang $(tan\, x)=\mathbb{R}$
La función $y=tan\, x$ es impar ya que $tan\, (-x)=-tan\, x$
La función $y=tan\, x$ es periódica y su período es $t=\pi$ puesto que $tan\, x=tan\,(x+k\pi),\, k\in\mathbb{Z}$
La función $y=tan\, x$ es estrictamente creciente en todo su recorrido
La función $y=tan\, x$ no es inyectiva pues $tan\, x_1=tan\, x_2$ no implica que $x_1=x_2$ .
La función $y=tan\, x$ es sobreyectiva porque $Rang\, (tan\, x)=\mathbb{R}$
La función $y=tan\, x$ no es acotada pues valores máximos, ni mínimos en su recorrido.
La función $y=tan\, x$ se anula para múltiplos de $x=\pi$ ; es decir $tan\, k\pi=0,\, k\in\mathbb{Z}$ .

FUNCIÓN COTANGENTE

Bajo las mismas consideraciones que hemos desarrollado para las funciones anteriores, procederemos para las funciones recíprocas. En estos casos, las gráficas se acompañana de línes discontinuas que representan las funciones recíprocas.

...

$-\frac{\pi}{2}$

$-\frac{\pi}{4}$

$-\frac{\pi}{6}$

0

$\frac{\pi}{4}$

$\frac{\pi}{2}$

$\frac{2\pi}{3}$

$\frac{3\pi}{4}$

$\frac{5\pi}{6}$

$\frac{5\pi}{4}$

$\frac{3\pi}{2}$

$\frac{7\pi}{4}$

...

0

-1

No existe

1

0

$-\frac{\sqrt{3}}{3}$

-1

No existe

1

0

-1

0

TABLA N°2. Valores de la funcion cotangente

graficactg1

FIGURA 2. Funcion cotangente

Del análisis de la gráfica se deducen las siguientes propiedades:

Dom $(ctg\, x)=\mathbb{R}-\{k\pi,\, k\in\mathbb{Z}\}$
Rang $(ctg\, x)=\mathbb{R}$
La función $y=ctg\, x$ es impar ya que $ctg\, (-x)=-ctg\, x$
La función $y=ctg\, x$ es periódica y su período es $t=\pi$ puesto que $ctg\, x=ctg\,(x+k\pi),\, k\in\mathbb{Z}$
La función $y=ctg\, x$ es estrictamente decreciente en todo su recorrido
La función $y=ctg\, x$ no es inyectiva pues $ctg\, x_1=ctg\, x_2$ no implica que $x_1=x_2$ .
La función $y=ctg\, x$ es sobreyectiva pues $Rang\, (ctg\, x)=\mathbb{R}$
La función $y=ctg\, x$ no está acotada ni superior ni inferiormente.
La función $y=ctg\, x$ se anula para múltiplos de $\frac{\pi}{2}$ ; es decir $ctg(2k+1)\frac{\pi}{2}=0,\, k\in\mathbb{Z}$ .
La función $y=ctg\, x$ presenta asíntotas verticales en $x=0,\, 2\pi,\cdots,\, n\pi,\, n\in\mathbb{Z}$

FUNCIÓN SECANTE

Sabemos que $y=sec\, x$ es la función recíproca de $y=cos\, x$ . Esto es $sec\ x=\frac{1}{cos\, x}$ . La línea a trazos representa a la función $y=cos\, x$ para apreciar mejor el comportamiento de $y=sec\, x$

...

$\frac{\pi}{2}$

0

$\frac{\pi}{6}$

$\frac{\pi}{4}$

$\frac{\pi}{3}$

$\frac{\pi}{2}$

$\frac{2\pi}{3}$

$\frac{3\pi}{4}$

$\frac{5\pi}{6}$

$\frac{5\pi}{4}$

$\frac{3\pi}{2}$

$\frac{5\pi}{3}$

$\frac{7\pi}{4}$

...

No existe

1

$\frac{2\sqrt{3}}{2}$

2

No existe

-2

$-\frac{2\sqrt{3}}{2}$

-1

No existe

2

1

TABLA N°3. Valores de la funcion secante

graficasec

FIGURA 3. Funcion secante

Del análisis de la gráfica se deducen las siguientes propiedades:

Dom $(sec\, x)=\mathbb{R}-\{(2k+1)\frac{\pi}{2},\, k\in\mathbb{Z}$
Rang $(sec\, x)=\mathbb{R}-(-1,\, 1)$
La función $y=sec\, x$ es par pues $sec\, (-x)=sec\, x$
La función $y=sec\, x$ es periódica y su período es $t=2\pi$ puesto que $sec\, x=sec\,(x+2k\pi),\, k\in\mathbb{Z}$
La función $y=sec\, x$ es estrictamente creciente en donde la función $cos\, x$ es decreciente y estrictamente decreciente donde la función $cos\, x$ es creciente.
La función $y=sec\, x$ no es inyectiva pues $sec\, x_1=sec\, x_2$ no implica que $x_1=x_2$ .
La función $y=sec\, x$ no es sobreyectiva pues $Rang\, (sec\, x)\neq\mathbb{R}$
La función $y=sec\, x$ no está acotada ni superior ni inferiormente.
La función $y=sec\, x$ no se anula para ningún valor de $x$ .
La función $y=sec\, x$ tiene asíntotas en $x=-\frac{\pi}{2},\,\frac{\pi}{2},\,\frac{3\pi}{2}$ , etc. es decir, las asíntotas son $x=(2k+1)\frac{\pi}{2},\, k\in\mathbb{Z}$ .

FUNCION COSECANTE

Finalmente se considera la gráfica $y=csc\, x$ , resaltando la curva $y=sen\, x$ dado que $y=csc\ x=\frac{1}{sen\, x}$ . La línea a trazos representa a la función $y=sen\, x$

...

$-\frac{\pi}{6}$

0

$\frac{\pi}{6}$

$\frac{\pi}{4}$

$\frac{\pi}{3}$

$\frac{\pi}{2}$

$\frac{2\pi}{3}$

$\frac{3\pi}{4}$

$\frac{5\pi}{6}$

$\frac{7\pi}{6}$

$\frac{5\pi}{4}$

$\frac{3\pi}{2}$

$\frac{7\pi}{4}$

$\frac{11\pi}{6}$

...

-2

No existe

2

$\frac{2\sqrt{3}}{2}$

1

$\frac{2\sqrt{3}}{2}$

2

No existe

-2

-1

-2

No existe

TABLA N°4. Valores de la funcion cosecante

graficacsc

FIGURA 4. Funcion cosecante

Del análisis de la gráfica se deducen las siguientes propiedades:

Dom $(csc\, x)=\mathbb{R}-\{k\pi,\, k\in\mathbb{Z}$
Rang $(csc\, x)=\mathbb{R}-(-1,\, 1)$
La función $y=csc\, x$ es impar ya que $csc\, (-x)=-csc\, x$
La función $y=csc\, x$ es periódica y su período es $t=2\pi$ puesto que $csc\, x=csc\,(x+2k\pi),\, k\in\mathbb{Z}$
La función $y=csc\, x$ es estrictamente creciente en donde la función $sen\, x$ es decreciente y estrictamente decreciente donde la función $sen\, x$ es creciente.
La función $y=csc\, x$ no es inyectiva pues $csc\, x_1=csc\, x_2$ no implica que $x_1=x_2$ .
La función $y=csc\, x$ no es sobreyectiva pues $Rang\, (csc\, x)\neq\mathbb{R}$
La función $y=csc\, x$ no está acotada ni superior ni inferiormente.
La función $y=csc\, x$ no se anula para ningún valor de $x$ .
La función $y=csc\, x$ presenta asíntotas en $x=0,\,\pi,\, 2\pi,\cdots\, y\, x=-\pi,\, -2\pi,\cdots$ ; es decir, las asíntotas son $x=k\pi,\, k\in\mathbb{Z}$ `

PREGUNTA: El Dominio de la función cot (x) es :

Verdadero

Ninguna de las anteriores

No existe

Falso