3 Lección: Razones trigonométricas de los ángulos asociados a 60 °.

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Para \theta=60^{\circ} el triangulo OP_1S es equilatero, pues \overline{OS}=\overline{OP} y el ángulo en O es de 60^{\circ}. Ademas, la altura h lo divide en dos triángulos rectángulos de hipotenusa igual a 1.

Los ángulos asociados a 60º con 120º, 240º y 300º.

60°

FIGURA N°1. Esquema triangular para ángulos asociados

Aplicando el teorema de Pitágoras al triangulo OQP, se tiene:

h=\sqrt{1-\frac{1}{2}^2}=\sqrt{1-1/4}=\sqrt{3/4}=\frac{\sqrt{3}}{2}

Luego: sen(60^{\circ})=\frac{\sqrt{3}}{2} y el cos(60^{\circ})=\frac{1}{2}. En la tabla siguiente encontramos los demás valores:

\theta

sen(\theta)

cos(\theta)

tan(\theta)

ctg(\theta)

sec(\theta)

csc(\theta)

60º

\frac{\sqrt{3}}{2}

1/2

\sqrt{3}

\frac{\sqrt{3}}{3}

2

\frac{2\sqrt{3}}{3}

120º

\frac{\sqrt{3}}{2}

-1/2

-\sqrt{3}

-\frac{\sqrt{3}}{3}

-2

\frac{2\sqrt{3}}{3}

240º

-\frac{\sqrt{3}}{2}

-1/2

\sqrt{3}

\frac{\sqrt{3}}{3}

-2

-\frac{2\sqrt{3}}{3}

300º

-\frac{\sqrt{3}}{2}

1/2

-\sqrt{3}

-\frac{\sqrt{3}}{3}

2

-\frac{2\sqrt{3}}{3}

TABLA 1. Valores trigonométricas de los ángulos asociados a 60°

EJEMPLO: Comprobar que es cierta la siguiente igualdad sustituyendo las razones que aparecen por sus valores númericos.

tan\, 45^{\circ}=\frac{sen\, 45^{\circ}}{cos\, 315^{\circ}}

Solución:

Reemplacemos los valores sirviéndose de las tablas anteriores:

tan\, 45^{\circ}=1,\,\, sen\, 45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}\,\, y\,\, cos\, 315^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2} de lo cual, 1=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=1

PREGUNTA: El valor de cos (60°) / sec (240°) es: