CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES \(\mathbb{N}\)
Propiedades
\(\mathb{N}\) es un conjunto infinito.
\(\mathbb{N}\) es un conjunto discreto, es decir, entre dos números naturales existe un número finito de número naturales.
\(\mathbb{N}\)tiene al número 1 como primer elemento. No tiene último elemento.
Si \(a \in \mathbb{N}\) y \(a\not=1\), entonces \(a-1\) es el antecesor de \(a\) y \(a+1\) es el sucesor .
\(\mathbb{N}\) no completa le recta.
Si \(a,b \in \mathbb{N}\), una y sólo una de las afirmaciones: \(a<b\), \(a=b\) o \(a>b\) es cierta.
\(\mathbb{N}\)está totalmente ordenado por la relación \(\leq\).
En \(\mathbb{N}\) son siempre posibles las operaciones de adición, multiplicación y ptenciación.
CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS \(\mathbb{Z}\)
\(\mathb{Z}\) es un conjunto infinito.
\(\mathb{Z}\) es un conjunto discreto.
\(\mathbb{Z}\) no tiene primer elemento ni último elemento.
\(\mathbb{Z}\) no completa la recta.
Si \(a \in \mathbb{Z}\), \(a-1\) es su antecesor y \(a+1\) su sucesor.
Si \(a \in \mathbb{Z}\), el valor absoluto de a:
\(\|a\|=\displaystyle {\left { a\, si \, a>0\atop 0\, si\, a=0\\-a\, si\, a<0\)
Si \(a,\,b\in \mathbb{Z}\), una y sólo una de las afirmaciones:\(a<b\), \(a=b\) o \(a>b\) es cierta.
\(\mathbb{Z}\) está totalmente ordenado por la relación \(\leq\).
En \(\mathbb{Z}\) son siempre posibles las operaciones de adición, multiplicación, sustracción y potenciación de base entera y exponente natural.
CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES \(\mathbb{Q}\)
Llamamos número racional a cada una de las clases de equivalencia que se obtienen al establecer la relación ser equivalente a en le conjunto de las fracciones.
\(\frac{a}{b}\) es equivalente a \(\frac{c}{d}\) si y sólo si \(ad=dc\). \(\frac{a}{b}\sim \frac{c}{d}\leftrightarrow ad=bc\).
Representamos por \(\mathbb{Q}\) al conjunto de los números racionales:\(\mathbb{Q}=\mathbb{Q}^{+}\cup {0}\cup \mathbb{Q}^{-}\).
\(\mathbb{Q}\) es un conjunto infinito.
\(\mathbb{Q}\) es u conjunto denso, es decir, entre dos números racionales existen infinitos números racionales.
\(\mathbb{Q}\) no tiene ni primer ni último elemento.
Si \(\frac{a}{b},\,\frac{c}{d}\in \mathbb{Q}\), entonces una y sólo una de las afirmaciones:\(\frac{a}{b}<\frac{c}{d},\,\frac{a}{b}=\frac{c}{d},\,\frac{a}{b}>\frac{c}{d}\) es cierta.
Si \(\frac{a}{b},\,\frac{c}{d} \in \mathbb{Q}\), entonces \(\frac{a}{b}\leq \frac{c}{d}\) si \(ad=bc\).
Si \(\frac{a}{b}\in \mathbb{Q}\), entonces \(\frac{a}{b}\) no tiene sucesor no ni antecesor.
\(\mathbb{Q}\) está totalmente ordenado por la relación \(\leq\).
En \(\mathbb{Q}\) son siempre posible las operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división (con divisor diferente de cero) y la potenciación de la base racional y exponente entero ( excepto \(0^{0}\)).
Representación decimal de los números racionales
Si \(\frac{a}{b} \in \mathbb{Q}\), al transformar la fracción \(\frac{a}{b}\) a una expresión decimal, determinado el cociente entre \(a\) y \(b\), puede ocurrir que \(\frac{a}{b}\) sea de la forma:
\(\frac{a}{b}=n,\,a_1\,a_2\,...\,a_k\), expresión decimal exacta.
\(\frac{a}{b}=n,\,a_1\,a_2\,...\,a_k\,a_1\,a_2\,...\,a_k=n,\, \widehat{a_1\,a_2\,...\,a_k}\) expresión decimal periódica pura.
\(\frac{a}{b}=n,\,b_1\,b_2\,...\,b_m\,\widehat{a_1\,a_2\,...\,a_k}\) expresión decimal periódica mixta.
Todo número racional se puede transformar en una expresión decimal periódica.
Toda expresión decimal periódica se puede transformar en un número racional, de la siguiente manera:
Expresión decimal exacta:
\(n,\,a_1\,a_2\,...\,a_k=\frac{n\,a_1\,a_2\,...\,a_k}{10^{k}}\).
Expresión decimal periódica pura:
\(n,\,\widehat{a_1\,a_2\,...\,a_k}=\frac{n\,a_1\,a_2\,...\,a_k-n}{10^{k}-1}\)
Expresión decimal periódica mixta:
\(n,\,b_1\,b_2\,...\,b_m\,\widehat{a_1\,a_2\,...\,a_k}=\frac{n,\,b_1\,b_2\,...\,b_m\,a_1\,a_2\,...\,a_k-n\,b_1\,b_2\,...\,b_m}{(10^{k}-1)\cdot 10^{m}}\)
Podemos definir el conjunto \(\mathbb{Q}\) como el conjunto de las expresiones decimales periódicas.
CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES \(\mathbb{R}\)
Los números de infinitas cifras decimales no periódicas forman el conjunto \(\mathbb{I}\) de los números irracionales.
El conjunto \(\mathbb{I}\) no completa la recta.
Un número real es un número que puede representarse mediante una expresión decimal de infinitas cifras.
\(\mathbb{R}= \mathbb{Q}\cup\mathbb{I}\)
\(\mathbb{R}\) es un conjunto infinito.
\(\mathbb{R}\) es un conjunto denso y continuo, es decir, entre dos números reales existen infinitos números reales y al llevarlos sobre la recta la completan.
A todo número real le corresponde un punto sobre la recta, y a todo punto sobre la recta le corresponde un número real.
Si \(a\in \mathbb{R}\), entonces \(a\) no tiene ni antecesor ni sucesor.
\(\mathbb{R}\) no tiene ni primer ni último elemento.
\(\mathbb{R}\) está totalmente ordenado por la relación \(\leq\).
En \(\mathbb{R}\) son siempre posibles las operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división (divisores diferentes de cero), la potenciación de base real y exponente entero (excepto \(0^{0}\)) y la radicación de radicando no negativo.
PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES DE POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN
Si \(a\) y \(b\in \mathbb{R}\) y \(n,\,m \in \mathbb{Z^{+}}\), entonces:
\(a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}\)
\(\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n},\,a\not= 0}\)
\((a^{m})^{n}=a^{m\cdot n}\)
\((a\cdot b)^{m}= a^{m} \cdot b^{m}\)
\(\left(\frac{a}{b}\right)^{m}=\frac{a^{m}}{b^{m}},\,b\not= 0\)
\(a^{0}=1,\,\forall a \in \mathbb{R},\,a\not= 0\)
\(a^{-n}=(a^{-1})^{n}=\frac{1}{a^{n}}, \, a\not= 0\)
\(\sqrt[n]{a}=b\leftrightarrow b^{n}=a\)
\(\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}\)
\(\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}},\,b\not= 0\)
\(\displaystyle{\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}}=\displaystyle{\sqrt[m\cdot n]{a}}\).
PREGUNTA: El número racional asociado con el decimal \(0,55\stackrel{\frown}{5}\) es: