MATEMÁTICAS 11: 2 Lección: Valor absoluto y plano cartesiano: Relaciones.: Valor absoluto y plano cartesiano: Relaciones

2 Lección: Valor absoluto y plano cartesiano: Relaciones.

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Cualquier número $a$ tiene su representación en la recta real. El valor absoluto de un número representa la distancia del punto $a$ al origen (0), sobre la recta.

Ejemplo 1:

Calculemos la distancia desde el origen hasta el punto 4 y al punto -4.

1.6

FIGURA 1. Ejemplo

En la recta l, de la figura, vemos que:

La distancia desde el origen hasta el punto 4 es 4 unidades, se representa $\mid 4\mid=4$ .
La distancia desde el origen hasta el punto $-4$ es $4$ unidades, se representa por $\mid -4\mid$ y corresponde a $4$ unidades, pero a la izquierda del origen. Puesto que las distancias son no negativas, decimos que $\mid -4\mid=4$ .

Así podemos definir:

El valor absoluto de cualquier número real a que se denota $\mid a\mid$ es: $a$ si $a$ es positivo, $-a$ si $a$ es negativo y 0 si $a$ es cero. En forma simbólica lo escribimos:

$\Huge \mid a\mid=\displaystyle{\left { {a\, si\, a\geq 0\atop -a\, si\, a<0$ .

Por tanto, para cualquier número real a, $\mid a\mid\geq 0$ .

Esto significa que el número dentro del valor absoluto puede ser negativo, pero al desarrollar el valor absoluto SIEMPRE obtendremos un número positivo.

Ejemplo:

I5I = distancia del origen 0 a 5 = 5

I-5I= distancia del origen 0 a -5 = 5

Ejemplo 2:

Hallemos $\mid 32\mid\, y \,\mid -32\mid$

Solución:

$\mid 32\mid=32$ porque $32>0$ .

$\mid -32\mid=-(-32)=32$ porque $-32<0$ .

Ejemplo 3:

Hallemos $\mid\frac{4}{2}\mid,\,\mid-\frac{7}{5}\mid\, y \,\mid -2\mid$

Por definición de valor absoluto tenemos:

$\mid\frac{4}{2}\mid=\frac{4}{2}$

$\mid-\frac{7}{5}\mid=-(-\frac{7}{5})=\frac{7}{5}$

$\mid-2\mid=2$

El valor absoluto puede usarse para calcular la distancia entre dos puntos de una recta coordenada.

Si tenemos dos puntos cualesquiera $a$ y $b$ de una recta numérica, la distancia entre ambos es $a-b$ si $a>b$ y $b-a$ si $b>a$ , es decir, la distancia entre ellos es $\mid a-b\mid$ .

Ejemplo 4:

Hallemos la distancia entre los puntos con coordenadas 3 y 8.

Solución:

De acuerdo con la definición, tenemos: $d(3,8)=\mid 3-8\mid=\mid -5\mid=5$ . Veamos su representación gráfica en la siguiente figura:

FIGURA 2. Ejemplo

De la misma manera si quisiéramos encontrar la distancia entre los puntos con coordenadas 8 y 3, tendríamos: $d(8,3)=\mid 8-3\mid=\mid 5\mid=5$ , tal como lo observamos en la figura.

FIGURA 3. Ejemplo

PROPIEDADES DE VALOR ABSOLUTO

El valor absoluto cumple las siguientes propiedades:

Si a y b son números reales tenemos:

1. $\Huge \mid a*b\mid=\mid a\mid *\mid b\mid$

2. $\Huge \mid a^n\mid=\mid a\mid^n\, con\ n\in N$

3. $\Huge \mid\frac{a}{b}\mid=\frac{\mid a\mid}{\mid b\mid}\ con\, b\neq 0$

4. $\Huge \mid a \mid=\mid -a\mid$

5. $\Huge \mid a^{-k}\mid=\mid a \mid^{-k}\, con\, a\neq 0,\, k\in z$

Ejemplo 5:

Utilicemos estas propiedades para calcular el valor absoluto de los números reales:

a) -35; b) $\frac{50}{2}$ ; c) $\frac{-1}{7}$ ; d) $-\sqrt{5}$ ; e) $\mid\frac{1}{3^{-2}}\mid$

Solución:

a) El valor absoluto de -35 pude escribirse así: $\mid -35\mid=\mid -5*7\mid=\mid -5\mid *\mid 7\mid=5*7=35$

b) El valor absoluto de $\frac{50}{2}$ es: $\mid\frac{50}{2}\mid=\frac{\mid 50\mid}{\mid 2\mid}=\frac{50}{2}=25$

c) El valor absoluto de $-\frac{1}{7}$ es igual a: $\mid\frac{-1}{7}\mid=\frac{\mid -1\mid}{\mid 7\mid}=\frac{1}{7}$

d) El valor absoluto de $-\sqrt{5}$ podemos escribirlo como: $\mid -\sqrt{5}\mid=\sqrt{5}$

e) El valor absoluto de $\frac{1}{3^{-2}$ es: $\mid\frac{1}{3^{-2}}\mid=\frac{\mid 1\mid}{\mid 3^{-2}\mid}=\frac{1}{3^{-2}}=3^2=9$