5 Lección: Función exponencial y logarítmica: Sus derivadas.

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La función logarítmica de base b es la inversa de la función exponencial de base b. Los valores de la función logb se denotan como logb (x) y puesto que logb y la función exponencial con base b son inversas se puede afirmar que:

f(x) = logb (x) si y sólo si x = by

FUNCIÓN LOGARITMICA

DERIVADA

f(x)=log_b(x)

f'(x)=\frac{1}{x\ ln(b)}

No olvidemos que en varios ejercicios de derivación logarítmica también vamos a tener que aplicar la regla de la cadena.

FUNCIÓN LOGARITMO NATURAL

La función logarítmica de base e se le llama función logarítmica natural. La función logarítmica natural es la inversa de la función exponencial natural.

La función logarítmica natural puede denotarse como log\ e, pero es más común la expresión ln, "logarítmo natural". Los valores de la función ln se denotan como ln x. Puesto que el logaritmo natural y la función exponente natural son inversas, se puede decir que:

l nx =y si x=ey

FUNCIÓN Ln

DERIVADA

f(x)=ln(x)

f'(x)=\frac{1}{x}

DERIVADA DE FUNCIONES EXPONENCIALES

Se llaman así a todas aquellas funciones de la forma \large f(x)\ =\ a^x, en donde la base a, es una constante y el exponente la variable independiente. Estas funciones tienen gran aplicación en campos muy diversos como la biología, administración, economía, química, física e ingeniería.

La definición de función exponencial exige que la base sea siempre positiva y diferente de uno (a > 0 \ y \ a \neq 1).

La condición que a sea diferente de 1 se impone, debido a que al reemplazar a a por 1, la función a^x se transforma en la función constante f(x)\ =\ 1.

La base no puede ser negativa porque funciones de la forma f(x)\ =\ (-9)^{1/2} no tendrían sentido en los números reales, no existen.

FUNCIÓN EXPONENCIAL

DERIVADA

\large f(x)\ =\ a^x

\large f'(x)\ =\ a^x\ ln(a)

Cuando la base a, corresponde al número de Euler e tenemos:

FUNCIÓN EXPONENCIAL base e

DERIVADA

\large f(x)\ =\ e^x

\large f'(x)\ =\ e^x