APLICACIÓN MOVIMIENTOS EN DOS DIMENSIONES: EL PROYECTIL
Despreciando el efecto de la resistencia del aire, la experiencia muestra que los proyectiles en caída libre están sometidos solamente a una aceleración vertical \(\vec{g}\) (gravedad) dirigida hacia abajo. Por lo tanto, la componente en y de un proyectil tendrá un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (\(g\) constante) mientras que la componente en x tendrá un movimiento rectilíneo uniforme (no hay aceleración).
Supondremos que el proyectil parte del origen con una velocidad inicial \(v_0\) que forman un ángulo \(\theta_0\) con la horizontal y tomaremos el eje y hacia arriba.
Las ecuaciones cinemáticas serán:
\(a_x=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, a_y=-g\)
\(v_x=v_0\, cos\theta_0\,\,\,\,\,\,\,\,\, v_y=-gt+v_0\, sen\theta_0\)
\(x=v_0\, cos\theta_0\, t\,\,\,\,\,\,\,\,\, y=-\frac{1}{2}gt^2+v_0\,sen\theta_0\, t\)
Las preguntas que pueden surgir son:
a) ¿Cuál es la trayectoria del proyectil?
De las ecuaciones paramétricas x y y, eliminemos el tiempo:
\(t=\frac{x}{v_0\, cos\theta_0}\)
\(y=-1/2\, g(\frac{x}{v_0\, cos\theta_0})^2+\frac{sen\theta_0}{cos\theta_0}x\)
Tenemos una ecuación de la forma \(y=-ax^2+bx\), que es la ecuación de una parábola.
b) ¿Cuál es la velocidad del proyectil a un momento dado?
Por el teorema de Pitágoras, la magnitud es:
\(v=\sqrt{v^2_x+v^2_y}\)
Y el ángulo que forma con la horizontal es \(tan\theta=\frac{v_y}{v_x}\)
c) ¿Cual es su máxima altura?
Esto sucede cuando su velocidad vertical se anula
\(v_y=0=-gt+v_0\, sen\theta_0\)
De aquí despejamos el tiempo y lo llevamos a la ecuación que nos da la coordenada y.
d) ¿Cuál es el alcance?
Es el valor de x cuando el proyectil ha llegado al suelo es decir, para \(y=0\); esto nos da:
\(0=-1/2\, gt^2+v_0\, sen\theta_0\, t=(-1/2\, gt+v_0\, sen\theta_0)t\)
\(t=\frac{2v_0\, sen\theta_0}{g}\)
Y lo llevamos a la ecuación de x
\(x=v_0\, cos\theta_0\,\frac{2v_0\, sen\theta_0}{g}\)
\(x=\frac{v^2_0}{g}\, sen\, 2\theta_0\,\, (2\, cos\,\theta\, sen\,\theta\, sen=\, 2\theta)\)
Con la ecuación de la trayectoria la respuesta era inmediata.
e) ¿para que valor del ángulo inicial \(\theta_0\), el alcance es máximo?
El alcance es máximo cuando \(sen\, 2\,\theta_0\) es máximo, es decir, cuando \(sen\, 2\,\theta_0=1\).
Por lo tanto, el ángulo \(2\theta_0\) es igual a 90° y \(\theta_0=\)45°.
Si el proyectil es lanzado horizontalmente, con velocidad \(v_0\) desde el origen, las ecuaciones cinemáticas se simplifican y se obtiene:
\(v_x=v_0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, v_y=-gt\)
\(x=v_0\, t\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, y=-\frac{1}{2}gt^2\)
Estas ecuaciones se simplifican aun más si se toma el eje y hacia abajo. En este caso, g es positiva y las ecuaciones se escriben:
\(a_x=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, a_y=g\)
\(v_x=v_0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, v_y=gt\)
\(x=v_0\, t\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, y=\frac{1}{2}gt^2\)
Para identificar mejor la diferencia entre alcance y altura máxima, se puede realizar el ejercicio en la siguiente aplicación, que también se encuentra en la dirección: http://www.educaplus.org/play-305-Alcance-y-altura-m%C3%A1xima.html. Puede modificar los valores iniciales de velociadad y ángulo:
PULSE AQUÍ PARA EMPEZAR A JUGAR
EJEMPLO 1: De arriba de una torre , se lanza una piedra con velocidad horizontal de \(40\ m/s\).a) Escribir las ecuaciones cinemáticas del movimiento tomando el eje y hacia abajo.
\(a_x=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, a_y=10\)
\(v_x=40\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, v_y=10t\)
\(x=40t\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, y=\frac{1}{2}10t^2\)
b) ¿Cuál es la altura de la torre si la piedra quedo en el aire \(3\) segundos? La torre de la altura es dad por la ordenada y o sea:\(y=\frac{1}{2}10(3)^2=45\, m\)
c) ¿A qué distancia del pie de la torre, la piedra alcanza al suelo?\(x=40(3)=120\, m\)
d) ¿Con qué velocidad la piedra alcanza al suelo?Sabemos que \(v_x=40\), y que \(v_y=10(3)=30\)
Por tanto, la velocidad es:\(v=\sqrt{v^2_x+v^2_y}=\sqrt{40^2+30^2}=50\, m/seg\)
EJEMPLO 2: Desde el suelo, un jugador de tenis comunica a una bola una velocidad de \(10\ m/s\), con un ángulo de \(37^{\circ}\) con la horizontal.a) Tomando el eje y hacia arriba, escribir las ecuaciones del movimiento.\(a_x=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, a_y=-10\)\(v_x=10*0,8\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, v_y=-10t+(10*0,6)\)\(x=8t\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, y=-\frac{10}{2}t^2+6t\)
b) ¿A qué distancia del jugador la bola tocará el suelo?. Cuando la bola toca el suelo la ordenada y es \(0\), por tanto, el tiempo de vuelo de la bola es:\(0=-5t^2+6t;\, 5t^2=6t\)\(t=\frac{6}{5}=1,2\, seg\)Y la distancia x es:\(x=8*1,2=9,6\, m\) (\(x\) es el alcance)
c) ¿Cuál fue la altura máxima de la bola?En el punto más alto,\(v_y=0=-10t+6\)
El tiempo para alcanzar esta posición es:\(t=\frac{6}{10}=0,6\, seg\)
Y la ordenada y nos da altura máxima:\(y=-5(0,6)^2+6(0,6)=1.8\, m\)
Ahora prueba tu puntería lanzando dos cañones a la misma velocidad y prueba que el desplazamiento de ambos es el mismo lanzando a dos ángulos complementarios:
FUEGO DE LANZAMIENTO DE PROYECTIL
El aplicativo se puede encontrar en la dirección: http://www.educaplus.org/play-308-Ca%C3%B1ones-complementarios.html
PREGUNTA: Lanzamos un proyectil con una velocidad inicial de \(100\ m/s\) en una dirección que forma un ángulo de \(60^{\circ}\) con la horizontal. Calcúla: Su alcance y su altura máxima.