PROPOSICIONES
Figura 1. Concepto de proposición.
Las proposiciones las podemos nombrar con letras minúsculas tales como \(p, \, q, \, r\) etc; siendo proposiciones simples como la de la figura 2. Veamos algunos ejemplos:
Ejemplo 1: p ≔ Colombia es un país. Esta proposición es verdadera.
Ejemplo 2: q ≔ Dos más dos es ocho. Esta proposición es falsa.
Ejemplo 3: r ≔ La mosca. Esta no es una proposición ya que no podemos decir si es verdadera o falsa.
Las palabras que enlazan dos o más proposiciones se llaman conectivas lógicas o partículas de enlace. Las más usuales son: “Y” que se simbolizan por “\( \wedge \)”, “O” que se simboliza por “\(\vee\)".
Las proposiciones que utilizan conectivos lógicos se llaman Proposiciones compuestas.
Las proposiciones compuestas son de uso común en nuestro lenguaje.
Luego dos proposiciones se pueden conectar a través de conectivos lógicos. Estos son:
Negación: si tenemos una proposición verdadera su negación es falsa. Se simboliza y se lee no .
Ejemplo 4: p ≔ Dos más dos es cuatro. ∼ p ≔ Dos más dos no es cuatro.
Ejemplo 5: p ≔ Hoy es lunes. ∼ p ≔ Hoy no es lunes.
Ejemplo 6: p ≔ Colombia es un país. ∼ p ≔ Colombia no es un país.
Ejemplo 7: p ≔ es cielo es verde. ∼ p ≔ El cielo no es verde.
Conjunción: dadas dos proposiciones la conjunción es agregar el conectivo “y” entre las proposiciones. Se simboliza .
Ejemplo 8: p ≔ Colombia es un país. q ≔ Hoy es lunes. p ∧ q ≔ Colombia es un país “y” hoy es lunes.
Ejemplo 9: p ≔ Él es colombiano. q ≔ Él es bogotano. p ∧ q ≔ Él es colombiano “y” él es bogotano. Aunque suena mejor, él es colombiano “y” es bogotano, las dos expresiones son equivalentes.
Ejemplo 10: p ≔ La tierra es un planeta. q ≔ Los planetas son redondos. p ∧ q ≔ La tierra es un planeta “y” los planetas son redondos. Esto es equivalente a, la tierra es un planeta “y” es redonda.
Recuerde que una conjunción se satisface si se cumple las dos condiciones exigidas.
Disyunción: dadas dos proposiciones la disyunción es agregar el conectivo “o” entre las proposiciones. Se simboliza .
Ejemplo 11: p ≔ Colombia es un país. q ≔ Hoy es lunes. p ∨ q ≔ Colombia es un país “o” hoy es lunes.
Ejemplo 12: p ≔ Él es colombiano. q ≔ Él es bogotano. p ∨ q ≔ Él es colombiano “o” él es bogotano. Aunque suena mejor, él es colombiano “o” es bogotano, las dos expresiones son equivalentes.
Ejemplo 13: p ≔ La tierra es un planeta. q ≔ Los planetas son redondos. p ∨ q ≔ La tierra es un planeta “o” los planetas son redondos. Esto es equivalente a, la tierra es un planeta “o” es redonda.
Recuerde que una disyunción se cumple cuando una de las dos proposiciones se cumple.
Las proposiciones compuestas son de uso común en nuestro lenguaje. Analicemos la siguiente situación:
Figura 3. Garantía de automóviles.
En la garantía de algunos automóviles aparece esta frase: “se garantiza el funcionamiento del vehículo, en condiciones de uso y mantenimiento normales, de cualquier defecto de material y de mano de obra por un período menor a 2 años y kilometraje menor a 40 000 kilómetros”. El \(10\) de julio de \(1998\) llegan al taller autorizado cuatro clientes.
Tabla 1. Datos de clientes.
¿A quiénes cubre la garantía?
El contenido que se usó entre las dos frases es y, con el cual se forma una conjunción. Por tanto, para poder recibir la garantía se deben cumplir las dos condiciones exigidas. En este caso sólo a Camilo Díaz lo cubre la garantía.
Si la frase de la garantía se reemplaza por: período menor a 2 años o kilometraje menor a 40 000 kilómetros; en este caso se tiene una disyunción, ya que el conectivo que une las frases es o. Eso significa que todos los clientes excepto Julia Escobar, tienen derecho a la garantía porque cumplen son alguna de las dos condiciones.
Figura 4. Conjunción y disyunción.
Complemente el tema con el siguiente vídeo de proposiciones:
Url del vídeo: https://www.youtube.com/watch?v=gfDvwvPoLSg
PREGUNTA: ¿En una proposición compuesta, cuando se presenta una conjunción?