RADICACIÓN Y LOGARITMACIÓN
Una bacteria colocada en cierto medio, se reproduce cada hora.
Se sabe que en la primera hora dio origen a dos bacterias, en la segunda a cuatro y en la tercera a ocho. ¿Cuántas bacterias reproduce en cada hora?
¿Cuántas horas han transcurrido cuando llega a reproducir 1024 bacterias?
Las preguntas anteriormente planteadas son diferentes o difieren aun cuando están relacionadas.
Para darle solución a la primera pregunta realizamos el siguiente análisis:
Como en la tercera hora se han reproducido 8 bacterias, debemos encontrar un número que multiplicado por si mismo tres veces nos dé como resultado 8, es decir, debemos encontrar un valor que cumpla con la siguiente ecuación, \(X^{3} = 8\). Por tanto si calculamos \(\sqrt[3]{8}\) obtenemos como resultado \(2\), porque \(2^3=8\). esto significa que la se duplica cada hora.
Para dar respuesta a la segunda pregunta, observamos que el valor 1024 es la potencia de la base 2, que da el número de bacterias después de cierto número de horas.
Por tanto, debemos encontrar el exponente de 2 que le corresponda a esta potencia \(2^?=1024\), en este caso es 10, es decir, han transcurrido 10 horas.
En nuestro caso, tenemos \(log_2 {1024}=10\) y se lee logaritmo en base dos de 1024 es 10.
Ejemplos de radicación:
Encontremos las raíces.
\( \sqrt[2]{36}\) .
\( \sqrt[4]{625}\).
\( \sqrt[3]{8}\).
\( \sqrt[5]{243}\).
Cada uno de estos ejercicios se puede expresar en forma de potencia
\( \sqrt[2]{36}=6\). En este caso = 6 porque \(6^2=36\)
\( \sqrt[4]{625}=5\). Porque \( 5^4=625\).
\( \sqrt[3]{8} = 2\). ya que \(2^3=8\)
\( \sqrt[5]{243}= 3\). porque \(3^5=243\).
Ejemplos de logaritmación.
\(log_3{9}\).
\(log_5{125}\).
\(log_2{256}\).
En este caso nuevamente podemos utilizar la potenciación. Se trata de encontrar el exponente al cual hay que elevar la base para obtener la potencia.
\(log_3{9}\) lo expresamos \(3^? = 9\); en este caso = \(2\) porque \(3^2=9\).
\(log_5{125}=3\) porque \(5^3=125\).
\(log_2{256}=8 \) porque \(2^8=256\).
A continuación observaremos un cuadro donde nos mostrará las formas de como transformarse las operaciones de radicación, logaritmación y potencia.
PREGUNTA: Al escribir en forma de logaritmo y radicación la expresión \(2^7=128\), el resultado es: