MATEMÁTICAS

La radicación es una operación inversa de la potenciación.

En el siguiente ejercicio se puede asegurar que \( \sqrt[3]{8} =8\), por que \( 2^{3} = 8\). De la misma forma tenemos que \( \sqrt[3]{-8} =-8\), por que \((-2)^{3}=-8\).

En la radicación se diferencian los siguientes términos:

La radicación permite encontrar la base de una potencia.

Veamos la equivalencia en los siguientes ejemplos.

\( \sqrt[5]{32}=2\),  porque  \( 2^{5}=32\).

\( \sqrt[3]{-27}=(-3)\), porque \( (-3)^{3}=-27\).

No siempre es posible expresar la raíz de un número entero con un número entero. Por ejemplo, al hallar \( \sqrt[2]{11}\), el resultado que se obtiene no es un número entero; igual sucede con \( \sqrt[2]{-4}\), pues no hay ningún número entero que cumpla ( ¿?² = (-4) ), es decir, no existe ningun número que elevado al cuadrado no de como resultado (-4).

Para representar la raíz cuadrada de un número escribiremos sólo el signo radical, así: \( \sqrt[2]{25} = sqrt{25}\)

En la radicación se cumple:

• Si la cantidad del subradical es negativa y el índice es impar, la raíz es negativa.
• Si la cantidad subradical es negativa y el índice es par, la raíz no es un número entero.

PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN

A continuación observaremos algunas de las propiedades que se cumplen en los radicales, entre ellas tenemos:

Nombremos nuevamente cada una de las propiedades anteriormente expuestas y realicemos algunos ejemplos, donde se observe la aplicación de estas.

• Potencia de una raíz: La potencia de una raíz es igual a la raíz de la potencia.

\( \left(\sqrt[n]{a} \right)^{m} = \sqrt[n]{a^{m}}\).

Ejemplo:

• \(\left(\sqrt[3]{27} \right)^{2}= 3^{2} = 3 \time 3 = 9\). Observe que en este caso primero calculamos \(\sqrt[3]{27} = 3\), obteniendo como resultado \(3^{2}\), por último resolvemos la potencia y como resultado final obtenemos \(9\).
• \( \left(\sqrt[3]{27^{2}} \right)= \sqrt[3]{729} = 9\). En este caso lo primero que desarrollamos fue la potencia que se encuntra dentro del radical, obteniendo como resultado de esa operación \(729\), por último realizamos la raíz cubica de \(729\) obteniendo como resultado final \(9\).

De esta forma demostramos la igualdad de la propiedad Potencia de una raíz.

• Raíz de un producto: La raíz del producto de varios factores es igual al producto de las raíces de cada factor.

\( \sqrt[n]{a \time b \time c } = \sqrt[n]{a} \time \sqrt[n]{b} \time \sqrt[n]{c} \).

Ejemplo:

• \(\sqrt[2]{ 4 \time 16 \time 25 } = \sqrt[2]{4} \time \sqrt[2]{16} \time \sqrt[2]{25} = 2 \time 4 \time 5 = 40 \). Observe que primero se repartio el radical a cada uno de los terminos, se calculan los radicales por separado y por último se realiza el producto de los resultados obtenidos por los radicales, obteniendo como resultado \(40\).
• \( \sqrt[2]{4 \time 16 \time 25 } = \sqrt[2]{1600} = 40\). En este caso se raliza primero el producto que se encuentra dentro del radical y por últmo se calcula la raíz cuadrada de \(1600\), obteniendo como resultado \(40\).
  

De esta forma demostramos la igualdad de la propiedad Raíz de un producto.

• Raíz de un cociente: La raíz enésima de un cocinete es igual al cociente de las raíces enécimas de los respectivos valores.

\( \sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{a}}\).

Ejamplo:

• \( \sqrt[2]{\frac{16}{4}}=\frac{\sqrt[2]{16}}{\sqrt[2]{4}}=\frac{4}{2}=2\). Obsreve que lo realizado fue lo siguiente, se repartio la raíz cuadrada a los respectivos valores, se calcularon las raices cuadradas y por último se simplifico la expresión, obteniendo como resultado \(2\).
• \( \sqrt[2]{\frac{16}{4}} = \sqrt[2]{4} = 2\). En ese cao lo que primero se realizó fue simplificar el cocinete que se encontraba dentro del radical y por último se calcula la raiz cuadrada de \(4\), obtenieendo como resultado \(2\).

De esta forma demostramos la igualdad de la propiedad Raíz de un cociente.

PREGUNTA: El resultado de calcular \(\sqrt[3]{-125}\) es: