EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES
En matemáticas, se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos números enteros (más precisamente, un entero y un natural positivo) es decir, una fracción común \(\frac{a}{b}\) con numerador a y denominador distinto de cero b.
Camilo, un estudiante de séptimo grado, realiza las siguientes actividades, en un día normal.
Cierto día, a las 7:00 am., Andrés le pregunto a Camilo :
¿Cuánto hace que te levantaste?
Hora y media dijo Camilo.
¿Cuánto tiempo ha trascurrido desde que saliste de tu casa?
Tres cuartos de hora.
¿Cuánto tiempo falta para salir al descanso?
Faltan tres horas y cuarto.
En esta conversación se nota que es posible expresar intervalos usando partes de la hora.
¿Qué parte del total de las personas del grupo 1 prefieren la natación?
¿Qué parte del total de las personas encuestadas practican Karate?
La fracción de estudiantes del grupo 1 que prefiere la natación es \(\frac{8}{35}\), y los que practican karate representan \(\frac{5}{60} = \frac{1}{12}\) del total de las personas encuestadas.
En un curso de preescolar 6 de cada 11 niños toman jugo de naranja al desayuno. Si hay 33 alumnos, ¿Cuántos toman jugo de naranja?
Para conocer el resultado total de niños que toma jugo de naranja, buscamos una fracción equivalente a \(\frac{6}{11}\)
\(\frac{6}{11}= \frac{?}{33}\)
\(\frac{6}{11}= \frac{6 \time 3}{11 \time 3} = \frac{18}{33}\)
Por tanto decir que 6 de cada 11 niños toman jugo equivale a decir que de 33 alumnos que hay en el curso, 18 toman jugo de naranja al desayuno.
Dos fracciones \(\frac{a}{b}\) y \(\frac{c}{d}\) son equivalentes si \(a \time b=c \time b\).
Para obtener fracciones equivalentes hacemos uso de los procesos de amplificación y simplificación
Ejemplo: Amplificar la fracción \(\frac{3}{5}\) por 5.
\(\frac{3}{5}= \frac{3 \time 5}{5 \time 5}= \frac {15}{25}\)
\(\frac{3}{5}= \frac{15}{25}\).
Por tanto las fracciones \(\frac{3}{5}\) y \(\frac{15}{25}\) son equivalentes.
El proceso de amplificar o complififcar una fracción consiste en multiplicar tanto el numerador como el denominador por un mismo número natural distinto de cero.
Ejemplo: Simplificar la fracción \(\frac{18}{36}\) hasta donde sea posible.
\(\frac{18}{36}= \frac{18 \div 2}{36 \div 2}= \frac{9}{12}\)
La fracción \(\frac{9}{12}\) puede seguir simplificándose . Observemos \(\frac{9}{12} = \frac{9 \div 3}{12 \div 3}= \frac {3}{4}\).
La fracción \(\frac{3}{4}\) es una fracción irreducible, es decir que no podemos dividirlo mas por un número natural que divida exactamente al numerador y al denominador y es equivalente a \(\frac{18}{36}\), es decir \(\frac{3}{4}=\frac{18}{36}\).
Al conjunto de todas las clases de fracciones equivalentes lo llamaremos conjunto de los números racionales, el cual se denota como \(\mathb{Q}\).
Al igual que los números enteros los números irracionales se clasifican en dos grades conjuntos, teniendo en cuenta un punto de referencia como el punto cero.
Si se asigna en la recta numérica el punto de referencia el valor cero, tendríamos que los racionales positivos se ubican a la derecha de \(0\) y los racionales negativos a la izquierda de él.
Para representar una fracción debemos tener en cuenta que el denominador indica las partes iguales en las cuales se divide cada unidad y el numerador las partes que se consideran o se toman.
FIGURAS DE REPRESENTACIÓN DE FRACCIONES EN LA RECTA NUMÉRICA.
Orden en los racionales
¿Cómo hacemos para saber cuándo un racional es menor que otro?
Para ordenar números racionales se buscan racionales equivalentes a los dados, que tengan el mismo denominador; luego, se ordenan teniendo en cuenta el orden de los numeradores.
Ejemplo: Determinemos si la fracción \(\frac{9}{10}\) es mayor que \(\frac{7 }{20}\).
Para obtener el resultado de que fracción es mayor, lo primero que debemos calcular el mínimo común múltiplo entre \(10\) y \(20\), que vienen siendo los denominadores de las facciones a comparar.
Como calcular el mínimo común múltiplo, tomamos los denominador e iniciamos a simplificar dividiendo entre dos si uno de los valores tiene mitad, tercera si se puede y así sucesivamente hasta que los términos finalicen con unos. Observemos lo que debemos realizar.
Si observamos iniciamos calculando la mitad de los valores, después continuamos con mitad ya que el valor de 10 tiene mitad y por último simplificamos por 5 ya que los dos términos no tenían tercera ni cuarta.
Después de calculado esto, los términos 2, 2 y 5 se multiplican dando así el mínimo común múltiplo: \(2 \time 2 \time 5 = 20\).
Este valor sirve como denominador común; luego, amplificamos las fracciones con el objetivo de obtener un mismo denominador.
Realizando lo anteriormente escrito, la única fracción que debemos multiplicar es la fracción \(\frac{9}{10}\) por el número \(2\), este es: \(\frac{9\time 2}{10\time 2}= \frac{18}{20}\), la otra facción no hay que multiplicarla por ningún número ya que el denominador es \(20\).
Por último realizamos las comparaciones teniendo en cuenta que si las fracciones tienen igual denominador el que decide cual es mayor son los valores que se encuentran en el numerador, así ; la fracción que tenga mayor numerador será la fracción mas grande.
Comparando tenemos:
\(\frac{9}{10}=\frac{18}{20}\) y \(\frac{7 }{20}\).; como \(\frac{18}{20} >\frac{7 }{20}\), entonces \(\frac{9}{10}>\frac{7 }{20}\).
PREGUNTA: Dadas las fracciones \(\frac{3}{7}\) y \(\frac{9}{11}\). ¿ Cuál de las fracciones dadas representa mayor cantidad?.