MATEMÁTICAS

DIVISIÓN DE POLINOMIOS

REGLA PARA DIVIDIR DOS POLINOMIOS

→Se ordenan el dividendo y el divisor con relación a una misma letra.

→Se divide el primer término del dividendo entre el primero del divisor y tendremos el primer término del cociente.

→Este primer término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto se resta del dividendo, para lo cual se le cambia el signo, escribiendo cada término debajo de su semejante. Si algún término de este producto no tiene término semejante en el dividendo se escribe en el lugar que le corresponde de acuerdo con la ordenación del dividendo y el divisor.

→Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor y tendremos el segundo término del cociente.

→Este segundo término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto se resta del dividendo, cambiando los signos.

→Se divide el primer termino del segundo resto entre el primero del divisor y se efectúan las operaciones anteriores; y así sucesivamente hasta que el residuo sea cero.

Recordemos algunas formas de expresar cocientes:

Si \(a, b, c\) son números reales, entonces:

\(\frac{ab}{c}=a*\frac{b}{c}=\frac{a}{c}*b,\, con\, c\neq 0\)

\(\frac{a}{bc}=\frac{a}{b}*\frac{1}{c}=\frac{1}{b}*\frac{a}{c},\, con\, b\neq 0\, y\, c\neq 0\)

\(\frac{1}{bc}=\frac{1}{b}*\frac{1}{c}=\, con\, b\neq 0\, y\, c\neq 0\)

Ahora recordemos algunas propiedades de la potenciación.

Si \(b\in\math{b},\, b\neq 0\), y \(r\), \(s\) son enteros positivos, se tiene:

\(\frac{b^r}{b^r}=b^r*\frac{1}{b^r}=1\)

Si \(r > s\) entonces: \(\frac{b^r}{b^s}=\frac{b^{r-s}*b^s}{b^s}=b^{r-s}*\frac{b^s}{b^s}=b^{r-s}*1=b^{r-s}\)

· Si \(s > r\), entonces: \(\frac{b^r}{b^s}=\frac{b^r}{b^{s-r}*b^r}=\frac{1}{b^{s-r}}*\frac{b^r}{b^r}=\frac{1}{b^{s-r}}*1=\frac{1}{b^{s-r}}\)

Ejemplo 1: ¿Cuál es el cociente entre \(30t^5h^6\,\, y\,\, 6t^2h^4\)?

Solución:

\(\frac{30t^5h^6}{6t^2h^4}=\frac{30}{6}*\frac{t^5}{t^2}*\frac{h^6}{h^4}=5*t^{5-2}*h^{6-4}=5t^3h^2\)

El resultado del ejemplo muestra que para cualquier valor de \(t\) y \(h\) con \(t\neq 0\) y \(h\neq 0\), la expresión \(\frac{30t^5h^6}{6t^2h^4}\) tiene los mismos valores que \(5t^3h^2\). Cuando remplazamos a \(\frac{30t^5h^6}{6t^2h^4}\) por \(5t^3h^2\), decimos que se ha dividido \(30t^5h^6\) por \(6t^2h^4\) y a \(5t^3h^2\) lo llamamos el cociente de los monomios. También decimos que se ha simplificado la expresión \(\frac{30t^5h^6}{6t^2h^4}\).

Un monomio es divisible por otro si el exponente de las variables del dividiendo y divisor, al simplificar, hacen que el cociente sea un monomio.

Figura 1. Monomio entre un monomio.

\(-51x^8y^5\) es divisible por \(18x^7y^2\) porque el cociente \(\frac{-17}{6}xy^3\) es un monomio. Para que el cociente de dos monomios sea otro monomio se requiere que le dividiendo contenga la(s) variable(s) del divisor con el exponente(s) mayor(es) o igual(es).

Los cocientes: \(\frac{5t^4}{4t^7}=\frac{5}{4}*\frac{1}{t^3};\,\frac{8m^3}{3m^5}=\frac{8}{3}*\frac{1}{m^2}\) no se reducen a monomios.

División de un polinomio por un monomio

Analicemos el siguiente ejemplo:

\(\frac{21k^5-35k^3+14k^2}{7k^2}=(21k^5-35 k^3+14k^2)*\frac{1}{7k^2}\)

\(=(21k^5) \frac{1}{7k^2}-(35 k^3) \frac{1}{7k^2}+(14k^2)\frac{1}{7k^2}\)

\(=\frac{21k^5}{7k^2}-\frac{35 k^3}{7k^2}+\frac{14k^2}{7k^2}\)

\(=3k^3-5k+2\)

Para dividir un polinomio por un monomio se divide cada término por el monomio, y se suman los cocientes particulares.

División de dos polinomios

Recordemos el proceso de división entre dos enteros:

Figura 2. División entre dos enteros.

Se puede verificar que: 951-(35)(27)=6 0 que 951=(35)(27)+6

En general se tiene:

Dividiendo - (Divisor x Cociente) = Residuo

Dividiendo = (Divisor x Cociente) + Residuo

Esta igualdad es equivalente a:

\(\frac{Dividiendo}{Divisor}=Cociente+\frac{Residuo}{Divisor}\)

Para el ejemplo numérico se tiene: \(\frac{951}{35}=27+\frac{6}{35}\).

Así como el cociente de dos enteros se llama numero racional, si el denominador es distinto de 0, el cociente de dos polinomios se llama expresión racional.

Ejemplo 2: Dividamos \(12x^3+5x^2+13x+14\, entre\, 3x+2\)

Solución:

Figura 3. Solución ejemplo 2.

El resultado se puede escribir así:

\((12x^3+5x^2+13x+14)\div (3x+2)=4x^2-x+5+\frac{4}{3x+2}\)

Se puede comprobar que:

\((4x^2-x+5)(3x+2)+4=12x^3+5x^2+13x+14\)

Ejemplo 3: Resolvamos \((y^5-2y^3-y+1)\div (y^2-1)\)

Solución:

Figura 4. Solución ejemplo 3.

El resultado puede escribirse así:

\((y^5-2y^3-y+1)\div (y^2-1)=y^3-y+\frac{-2y+1}{y^2-1}\)

Se puede comprobar que:

\((y^3-y)(y^2-1)+(-2y+1)= y^5-2y^3-y+1\)

En este ejemplo ha sido conveniente completar el polinomio dividiendo \( y^5-2y^3-y+1\) en la forma \(y^5+0y^4-2y^3+0y^2-y+1\), para facilitar el algoritmo de la división.

Para dividir un polinomio por otro:

→Ordenamos ambos polinomios según las potencias decrecientes de la misma variable, dejando espacios para los términos faltantes en caso que el polinomio dividiendo sea incompleto.

→Obtenemos el primer término del cociente: dividiendo el primer término del dividiendo por el primer divisor.

→Obtenemos el primer dividiendo parcial: multiplicamos el primer término del cociente por el divisor y el producto se resta del dividiendo.

→Repetimos el proceso hasta obtener un dividiendo parcial cuyo grado sea menor al del divisor. Este dividiendo parcial será el residuo.

Ver el siguiente vídeo explicativo, con el procedimiento de la división de polinomios: