MATEMÁTICAS

VALOR ABSOLUTO

Cualquier número \(a\) tiene su representación en la recta real. El valor absoluto de un número representa la distancia del punto \(a\) al origen (0), sobre la recta.

Ejemplo:

Calculemos la distancia desde el origen hasta el punto \(4\) y al punto \(-4\).

En la recta l, de la figura, vemos que:

• La distancia desde el origen hasta el punto 4 es 4 unidades, se representa \(\mid 4\mid=4\).
• La distancia desde el origen hasta el punto \(-4\) es \(4\) unidades, se representa por \(\mid -4\mid\) y corresponde a \(4\) unidades, pero a la izquierda del origen. Puesto que las distancias son no negativas, decimos que \(\mid -4\mid=4\).

Así podemos definir:

El valor absoluto de cualquier número real a que se denota \(\mid a\mid\) es: \(a\) si \(a\) es positivo, \(-a\) si \(a\) es negativo y 0 si \(a\) es cero. En forma simbólica lo escribimos:

\(\mid a\mid=\displaystyle{\left { {a\, si\, a\geq 0\atop -a\, si\, a<0\).

Por tanto, para cualquier número real a, \(\mid a\mid\geq 0\).

Esto significa que el número dentro del valor absoluto puede ser negativo, pero al desarrollar el valor absoluto SIEMPRE obtendremos un número positivo.

Ejemplo:

\(\mid5\mid\)= distancia del origen0 a \(5 = 5\)

\(\mid - 5\mid\)= distancia del origen 0 a\( -5 = 5\)

Ejemplo:

Hallemos \(\mid 32\mid\, y \,\mid -32\mid\)

Solución:

\(\mid 32\mid=32\) porque \(32>0\).

\(\mid -32\mid=-(-32)=32\) porque \(-32<0\).

Ejemplo 2:

Hallemos \(\mid\frac{4}{2}\mid,\,\mid-\frac{7}{5}\mid\, y \,\mid -2\mid\)

Por definición de valor absoluto tenemos:

\(\mid\frac{4}{2}\mid=\frac{4}{2}\)

\(\mid-\frac{7}{5}\mid=-(-\frac{7}{5})=\frac{7}{5}\)

\(\mid-2\mid=2\)

El valor absoluto puede usarse para calcular la distancia entre dos puntos de una recta coordenada.

Si tenemos dos puntos cualesquiera \(a\) y \(b\) de una recta numérica, la distancia entre ambos es \(a-b\) si \(a>b\) y \(b-a\) si \(b>a\), es decir, la distancia entre ellos es \(\mid a-b\mid\).

Ejemplo:

Hallemos la distancia entre los puntos con coordenadas 3 y 8.

Solución:

De acuerdo con la definición, tenemos: \(d(3,8)=\mid 3-8\mid=\mid -5\mid=5\). Veamos su representación gráfica en la siguiente figura

De la misma manera si quisiéramos encontrar la distancia entre los puntos con coordenadas 8 y 3, tendríamos: \(d(8,3)=\mid 8-3\mid=\mid 5\mid=5\), tal como lo observamos en la figura.

El valor absoluto cumple las siguientes propiedades:

Si a y b son números reales tenemos:

1. \(\mid a*b\mid=\mid a\mid *\mid b\mid\)

2. \(\mid a^n\mid=\mid a\mid^n\, con\ n\in N\)

3. \(\mid\frac{a}{b}\mid=\frac{\mid a\mid}{\mid b\mid}\ con\, b\neq 0\)

4. \(\mid a \mid=\mid -a\mid\)

5. \(\mid a^{-k}\mid=\mid a \mid^{-k}\, con\, a\neq 0,\, k\in z\)

Ejemplo:

Utilicemos estas propiedades para calcular el valor absoluto de los números reales:

a) \(-35\); b) \(\frac{50}{2}\); c) \(\frac{-1}{7}\); d) \(-\sqrt{5}\); e) \(\mid\frac{1}{3^{-2}}\mid\)

Solución:

a) El valor absoluto de -35 pude escribirse así: \(\mid -35\mid=\mid -5*7\mid=\mid -5\mid *\mid 7\mid=5*7=35\)

b) El valor absoluto de \(\frac{50}{2}\) es: \(\mid\frac{50}{2}\mid=\frac{\mid 50\mid}{\mid 2\mid}=\frac{50}{2}=25\)

c) El valor absoluto de \(-\frac{1}{7}\) es igual a: \(\mid\frac{-1}{7}\mid=\frac{\mid -1\mid}{\mid 7\mid}=\frac{1}{7}\)

d) El valor absoluto de \(-\sqrt{5}\) podemos escribirlo como: \(\mid -\sqrt{5}\mid=\sqrt{5}\)

e) El valor absoluto de \(\frac{1}{3^{-2}\) es: \(\mid\frac{1}{3^{-2}}\mid=\frac{\mid 1\mid}{\mid 3^{-2}\mid}=\frac{1}{3^{-2}}=3^2=9\)

PREGUNTA: ¿Cuál es el resultado de: d(5,9)?