FUNCIÓN CUADRÁTICA
En matemáticas, una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómica definida como:
\(f(x)=a^{2}+bx+c\)
en donde a, b y c son números reales (constantes) y a es distinto de 0.
Constantemente encontramos casos en los que se puede hallar el valor de la magnitud desconocida:
En cada caso es necesario plantear ecuaciones como:
a. \( I^{2} =121 \) cuya solución es \({I= +/- \sqrt{121}}\) de donde \({I=-11}\) o \({I=11}\)
En este caso tomamos como solución \(I=11\) por tratarse de la solución de la longitud del lado de un cuadrado.
b. \(k^2 + k^2 = d^2\)
luego \(2k^2 = d^2\)
por tanto: \(d = +/- \sqrt{2k^{2}}\) de donde \(d=-k \sqrt{2}\) o \(d=k \sqrt{2}\).
Entonces \({d=k \sqrt{2}}\) por tratarse de la longitud de la diagonal de un cuadrado.
c. \(d^2=22^2+34^2\)
\({d^{2}=484+1156 = +/- \sqrt{1640}\) ,
entonces \({d= \sqrt{1640}}\) o \({d=- \sqrt{1640}}\) .
Luego \({d=\sqrt{1640}}\) por la misma razón de los casos anteriores.
En general si \(t > 0\) y \(x^{2}= t\), existen dos números reales que satisfacen la ecuación; estos son: \({x=\sqrt{t}}\) ó \({x=-\sqrt{t}}\) .
En los ejemplos anteriores, solo es solución el numero positivo, porque las variables denotan longitudes. Si \(t=0\) y \(x^{2}=t\), entonces \(x=0\).
Si \(t<0\), no existe un numero real tal que \(x^{2}=t\), es decir, no existe la raíz cuadrada de números negativos.
Ejemplo 1:
Hallemos la solución a las ecuaciones:
a. \(p^{2}=64\)
\(p=+/- \sqrt{64}\)
\(p= +/- 8\)
La solución es : (\({-8,8}\)).
b. \(6h^{2}=294\)
\({6h^{2}\over 6}={294 \over6}\)
\(h^{2}=49\)
\(h=+/- \sqrt{7}\)
\(h=+/- 7\)
La solución es (\({-7,7}\)).
Ejemplo 2:
Un cuadrado tiene de lado \(x+3\) y su área es \(100 cm^{2}\); hallemos el valor de \(x\).
Tenemos la ecuación \((x+3)^{2}=100\), de donde:
\(x+3=+/- \sqrt{100}\)
\({x+3= +/- 10}\)
\({x=-3 +/-10}\)
\(x=-13\) o \(x=7\).
La solución de la ecuación es: ( \({-13,7}\)) .
PREGUNTA: ¿Cuál es la solución de la ecuación \({5(x-9)^{2} = 60}\) ?