DESIGUALDADES CUADRÁTICAS
Hemos aprendido a hacer un modelo de la gráfica de funciones de la forma \(ax^{2}+bx+c\). Ahora estudiaremos algunos casos de desigualdades cuadráticas. La gráfica de estas desigualdades consta de todos los
puntos \((x,y)\) que son solución de la desigualdad.
Analicemos la gráfica de los puntos que satisfacen la desigualdad \(y \ge x^{2}-3\).
Los puntos que cumplen la ecuación \(y=x^{2}-3\) son los de la parabola que abre hacia arriba cuyo vértice está en \((0,-3)\) y sus x-intersectos son \((-\sqrt{3},0)\) y \((\sqrt{3},0)\),como se muestra en la figura.
La curva divide el plano en 3 regiones: los puntos dentro de la curva, los puntos en la curva y los puntos fura de esta .¿Cuáles de esos puntos satisfacen la desigualdad?
Por ejemplo, todos los que tienen abscisa \(0\) y ordenada mayor que \(-3\), ya que si \(x=0\), la desigualdad se transforma en \(y>0^{2}-3\,\,o\,\,y>-3\), por ejemplo \((0,-1)\),\((0,15)\), por que
\(1>0^{2}-3\,\,y\,\,15>0^{2}-3\).
Si analizamos la relación que existe entre la ordenada y la abscisa de los puntos que están sobre la recta \(x=1\), encontramos que el punto \((1,-2)\) pertenece a la parábola, y todos los puntos \((1,y)\) con \(y>-2\), son puntos de la región que estamos tratando de determinar.
Por ejemplo, \((1,-1)\) , \((1,0)\) , \((1,5)\), están en la región, porque:
\(-1>1^{2}-3,\,-1>-2\)
\(0>1^{2}-3,\,0>-2\)
\(5>1^{2}-3,\,5>-2\)
En resumen, cumplen la desigualdad todos los puntos del plano que están sobre la parabola o por encima de ella. Los puntos que cumplen la desigualdad corresponden a la región que se presenta dentro de la linea azul :
Cuando los puntos de la curva pertenecen a la gráfica de la región dentro de la linea azul, se dice que la región es cerrada, si no pertenecen, se dice que la región es abierta.
La gráfica de la región sombreada corresponde a la relación \(\{(x,y)\mid y \ge x^{2}-3\}\).El dominio de la relación son los números reales, y el rango son los números reales, mayores o iguales que \(-3\),
puesto que \(-3\) es la ordenada del vértice de la parábola, el punto más bajo de la curva.
EJEMPLO:
Realicemos la gráfica de los puntos del plano que satisfacen simultáneamente las condiciones: \(y\le 5-4x-x^{2}\). Esta tiene por vértice a \((-2,9)\), y-intersecto a \((0,5)\), x-intersectos a \((-5,0),\,(1,0)\) y abre hacia abajo.
Ahora ubicamos los puntos que satisfacen la primera desigualdad que son, además de los que pertenecen a la parábola, todos los que están por debajo de la parábola.
Posteriormente ubicamos la recta de ecuación \(y=x\) y, por último, los puntos que satisfacen la segunda desigualdad.
Los puntos del plano que satisfacen simultáneamente las dos condiciones son los que pertencen a la región que en la gráfica nos muestra la intersección entre las regiones determinadas por las desigualdades \(y\le 5-4x-x^{2,\,y\,y\ge x\), que se muestran en la figura:
Las coordenadas de los puntos de intersección de la parábola y la recta las podemos encontrar resolviendo el sistema:
\(\{\binom{y=5-4x-x^{2}}{y=x}\}\)
reemplazando las anteriores ecuaciones tenemos:
\(x=5-4x-x^{2}\)
Igualando a \(0\) la anterior ecuación tenemos:
\(x^2+5x-5=0\)
Resolviendo para \(x\):
\(x=\frac{-5+/- \sqrt{25+20}}{2}=\frac{-5+/-\sqrt{45}}{2}=\frac{-5+/-3\sqrt{5}}{2}\)
Por lo tanto la solución del sistema son los pares:
\((\frac{-5-3\sqrt{5}}{2},\frac{-5-3\sqrt{5}}{2})\,y\,(\frac{-5+3\sqrt{5}}{2},\frac{-5+3\sqrt{5}}{2})\)
El dominio de la relación que satisface simultaneamente las condiciones dadas en el intervalo:
\(\left[ \frac{-\left(5\right)-3\sqrt{5}}{2},\frac{-\left(5\right)-3\sqrt{5}}{2}\right]\).
El rango d la relación es el intervalo:
\(\left[ \frac{-\left(5\right)-3\sqrt{5}}{2},9 \right]\)
PREGUNTA: ¿Con base en la figura cuáles son las respectivas ecuaciones de la recta y la parábola?