COORDENADAS POLARES:
En el sistema rectangular las coordenadas de un punto \(P\) están referidas a dos rectas perpendiculares orientadas \(X\), \(Y\), llamadas ejes coordenados. La representación de un numero complejo \(a+bi\), usando coordenadas cartesianas,es el punto \(P(a,b)\), en donde a es la distancia \(P\) al eje \(Y\) y \(b\) es la distancia del punto \(P\) al eje \(X\).
Fijemos en el plano un punto \(O\) (el polo) y una semirrecta orientada \(OX\) ( el eje polar), y relacionemos cada punto \(P\) del plano complejo al polo y al eje polar mediante un par de números reales:
\(r\) = distancia del punto P al polo, es decir, el modulo del complejo \(a+bi\).
\(θ\)=medida del ángulo, en sentido positivo, formado por el eje polar y el segmento dirigido \(OP\).
A continuación se observa la gráfica del punto (2.65, 155)
Para ubicar el punto (2.65, 155°) trazamos el ángulo \(XOY\), tomado el giro en sentido contrario al de las manecillas del reloj con medida 155°, de tal modo que su lado inicial sea el eje polar y el lado final sea la semirecta \(OY(OP)\). A continuación, con centro en \(O\), trazamos una circunferencia de radio 3.
El punto de corte de la circunferencia y la semirrecta \(OY\) es el punto (2.65, 155°) .
Ejemplo:
b. Para ubicar el punto B(5,-60º) trazamos el ángulo \(XOY\) en la figura, tomando el giro en el mismo sentido de las manecillas del reloj con medida de 60º , partiendo del eje polar y terminando en la semirecta \(OY\) con la circunferencia de centro \(O\) y radio 5; llamamos \(B\) al punto de corte.
Aun cuando se acostumbra a tomar el radio vector como un real positivo, por ser una distancia, algunas veces se acepta tomarlo como un numero real negativo; en tal caso, su medida se toma sobre la semirecta puesta al lado final del ángulo dado.
Para representar un punto cuyas coordenadas están en coordenadas polares, el radio vector se toma positivo si se mide sobre el lado terminal del ángulo positivo de rotación y negativo si se mide sobre la semirecta opuesta. El ángulo de rotación se toma positivo o negativo según se gire en el sentido contrario a las manecillas del reloj o en sentido contrario a partir del eje polar.
Representemos los puntos:
a. \(M\)(-3,30º) b. \(N\)(-1,-90º)
a. para representar el punto \(M\)(en la figura a)debemos ubicar primero el punto (3,30º) y luego determinar su simétrico, respecto del polo \(O\). Ese será el punto \(M\).
b. Para representar el punto \(N\) se ubica inicialmente el punto (1,-90º) y el simétrico de este respecto al polo será el punto \(N\)
También es posible nombrar el punto \(N\)(-1,-90º) como \(N\)(1,90º), ,\(N\)(1,-270º), \(N\)(1,450º), etc.
En conclusión si se tiene un punto sobre el plano, existen muchas maneras de nombrarlo mediante coordenadas polares.
Si \(P(\theta,r)\) es un punto del plano con coordenadas polares, \(P\) también puede representarse como:
\(P(-r,(\theta+180º))\) y \(P(-r,(\theta+180º)+360º*n)\), en donde \(n\) es un entero.
Es importante relacionar los diferentes sistemas de coordenadas, por ello algunas veces será necesario conocer las coordenadas cartesianas de un punto \(P\) del cual se conocen coordenadas polares \(y\)
viceversa. Usando las propiedades geométricas de los triángulos rectángulos, es posible establecer estas relaciones para algunos ángulos.
Si el punto \(P(r,\theta)\) es tal que el ángulo de rotación \(\theta\) es un ángulo de 0º,90º,180º,270º ( o ángulos que se diferencien de estos un numero entero de vueltas), entonces es muy fácil determinar la representación cartesiana de \(P\). Sencillamente asociamos, por ejemplo, la pareja ordenada \((0,r)\) con la coordenada polar (r,90º).
Encontremos la representación cartesiana y la binomial correspondientes a los puntos:
a. \(P\)(r,45º) b. (r,90º)
(o un ángulo que difiera de este un número entero de vueltas).
a. Consideremos la figura, donde tenemos el punto P(r,45º).
Desde \(P\) trazamos la perpendicular al eje polar, para definir el \(\triangle OP\). Como el \(\triangle OP`P\) es rectángulo isósceles, entonces luego:
por el teorema de Pitágoras.
PREGUNTA: Dadas las coordenadas cartesianas del punto \(P(1,-\sqrt{3})\) determinar las coordenadas polares del punto.