INTERÉS SIMPLE E INTERÉS COMPUESTO.
Lucho da en préstamo $ \(2.000.000\) a un amigo, cobrándole un interés simple del \(3\)% mensual, mientras dure el préstamo.
¿Cuál es el valor que espera recibir mensualmente Luis, por concepto de intereses?
Como su amigo le pagará \(3\)% mensual, basta calcular el \(3\)% del capital prestado, pues esa será la cantidad que espera recibir mensualmente.
Usando proporcionalidad directa, se tiene: \({3\over 100}={I \over 2.000.000}\)
Luego \(I=(2.000.000)* {3\over 100 }={0,03*2.000.000}\)
\(I=60.000\).
Mas tarde el amigo el informa a Luis que le pagará el capital y los intereses a final de seis meses o quizá de \(8\). Entonces Luis construye la tabla que se observa a continuación que le permite conocer cuanto recibirá en cada caso.
Observemos la tabla que hizo Luis y describamos cada columna como una sucesión.¿Qué clase de sucesión encontramos? ¿Por qué? En cada sucesión la diferencia entre un termino y el anterior es siempre constante, las \(3\) sucesiones son aritméticas.
Para la primera sucesión el primer termino es \(1\) y la razón es \(1\).
En la segunda sucesión el primer termino es \(60.000\) y la razón es \(60.000\)
La tercera sucesión tiene como primer termino \(2.060.000\) y la razón es \(60.000\).
Con base en la tabla se construye la gráfica del interés acumulado y la gráfica de Monto total a recibir.
Con la información de la tabla anterior podemos construir la siguiente tabla:
De la tabla anterior concluimos que \(C_n=C_0(1+n_i)\)
siendo \(C_n\): monto total del capital; \(C_0\) Capital Inicial; \(n\): periodos de tiempo; \(i\): interés por un peso durante un periodo de tiempo.
Un capital se dice que se coloca o presta a interés simple cuando los intereses causados son producidos solo por el capital inicial \(C_0\) ; los intereses parciales no producen a su vez intereses.
Cuando un capital causa interés simple produce el mismo interés en cada período.
El interés producido por un peso en al unidad de tiempo se llama tasa o rata de interés.
Se llama monto a la suma del capital con los intereses causados en cierto período.
Si un capital causa un interés simple, tanto el interés acumulado como el monto se comportan como sucesiones aritméticas con razón \(iC_0\) , en donde i es la rata unitaria y \(C_0\) es el capital.
Ejemplo:
Cierto año una corporación de ahorros le ofrece a sus clientes un interés mensual de \(3.5\)%. Un cliente ahorra $ \(5.000.000\) al iniciar el mes de Febrero.
a. ¿Cuánto recibe mensualmente por concepto de intereses?
b. Si no retira los intereses ¿cuánto recibe por este concepto al final del cuarto mes de haber consignado el capital?
c. Si después de cierto tiempo de mantener el capital en la corporación recibe un monto total de
$ \(6575000\), ¿cuantos meses tuvo el capital en la corporación?
Solución:
a. Interés mensual.
\(i=iC_0=(0,035)*(5.000.000)=175.000\)
b. Interés acumulado correspondiente al cuarto mes.
\(I_4 =4* iC_0 =4(0,035)(5.000.000)=700.000\)
c. Los intereses ganados corresponden a la diferencia entre el monto que recibió y el capital inicial.
\(i=C_n-C_0\)
\(i=6.575.000-5.000.000=1.575.000\)
Como cada mes gana $ \(175.000\), entonces:
Número de meses que mantuvo el capital\(={1.575.000\over 175.000}=9\).
Milena deposita $ \(3.000.000\) en la cooperativa de la empresa donde trabaja porque le reconoce un interés de \(2.5\)% mensual por sus ahorros, de acuerdo con el siguiente método : “ después del primer periodo se reconoce un interés simple sobre el monto del periodo anterior y se pagan al ahorrador intereses acumulados semestralmente”. De acuerdo con la propaganda de la cooperativa, ¿cuánto recibe milena al final del sexto mes?
Milena recibe, al terminar el sexto mes un monto total de $ \(3.479.081\).
Al retirar el dinero, Milena piensa que el método aunque no le permite recibir mes a mes los intereses, presenta un mayor rendimiento que el interés simple. ¿ Piensas lo mismo?
Aunque no es evidente a simple vista, las secuencias de los números de las columnas \(2\), \(3\), \(4\) de la tabla,
que corresponden a capital al iniciar el mes, interés ganado en el mes y monto al final del mes, son progresiones geométricas con razón,\( (1+i)\). Ello puede comprobarse realizado con los cocientes de la forma \({C_{n-1}\over C_n}\) observemos el comportamiento este comportamiento en forma generalizada.
De la tabla concluimos: \(C_n=C_0(i+1)^{n}\) donde \(C_n\): monto total del capital; \(C_0\)=capital inicial;
\(n\): periodos de tiempo; \(i\): interés causado por un peso durante un periodo de tiempo.
Podemos concluir también que tanto el interés causado en cada periodo como el monto, se comportan como progresiones geométricas de razón \((i+1)\).
Un capital se dice que se coloca o presta a interés compuesto cuando los intereses de un periodo se adicionan o sustraen al capital inicial del periodo, para constituir el nuevo capital sobre el cual se calculan los intereses del siguiente periodo.
Cuando un capital causa interés compuesto no produce el mismo interés en cada período.
Doy en préstamo $ \(600.000\) al \(15\)% semestral compuesto. ¿cuánto deben devolverme al final de dos años ?
Como el interés compuesto es semestral, en dos años hay cuatro periodos de capitalización.
Luego:
\(C_4 =C_o(1+0.15)^{4}\)
\(C_4=600.000(1+0,15)^{4}=600.000(1.15)^{4}=600.000(1.749)\).
\(C_4=1.049.400\)
Cierta cantidad de dinero fue prestada al \(30\)% de interés compuesto anual con capitalización semestral, por \(4\) años. Al terminar el plazo se cancelo una suma total de $ \(6.118.000\).¿Cuánto fue el capital prestado?
Como la capitalización es semestral, hay 8 periodos a una rata semestral de \({0.3\over 2}=0.15\).
Así \(C_8=C_0(1+0.15)^{8}\)
\(6.118.000=C_0(3.059)\)
\({6.118.000\over 3.059}=C_0\) luego \(2.000.000=C_0\).
PREGUNTA: ¿Cuál es el capital prestado a interes simple por un periodo de dos años Si a una tasa mensual de \(3.5%\) produce un interés final de \(59.500\) ?