MATEMÁTICAS 11: 4 Lección: Extremos relativos y criterios de la primera y segunda derivada.: Extremos relativos y criterios de la primera y segunda derivada

4 Lección: Extremos relativos y criterios de la primera y segunda derivada.

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EXTREMOS RELATIVOS

Extremos relativos

Si f es derivable en a, a es un extremo relativo o local si:

1. Si $f^{\prime}(a) = 0$

2. Si $f^{\prime\prime}(a) \neq 0$

Máximos relativos :

Un máximo se encuentra en el punto de la función, en la que ésta pasa de creciente a decreciente.

Si f y f' son derivables en a, a es un máximo relativo si se cumple:

1. $f^{\prime}(a) = 0$

2. $f^{\prime\prime}(a) < 0$

Mínimos relativos:

Un mínimo se encuentra en el punto de la función, en la que ésta pasa de decreciente a creciente.

Si f y f' son derivables en a, a es un mínimo relativo si se cumple:

1. $f^{\prime}(a) = 0$

2. $f^{\prime\prime}(a) > 0$

PROCEDIMIENTO PARA DETERMINAR EXTREMOS RELATIVOS

1. Hallar la primera derivada y sus raices o ceros (Procedimiento de la lección 1). Los valores obtenidos serán los puntos críticos de la función.

2. Hallar la segunda derivada y remplazar los puntos críticos obtenidos. Si:

$f^{\prime\prime}(a) < 0$ es un máximo relativo

$f'^{\prime\prime}(a) > 0$ es un mínimorelativo

3. Remplazamos los puntos críticos en la función original para determinar el punto (x,y) en donde se encuentran los valores máximos y mínimos.

Se expresan de la forma: (punto crítico, f(a))

EJERCICIO:

Determinar los extremos relativos de la función $f(x)=8x^3-6x^2+7$

1. Hallar la primera derivada y sus raices o ceros (Procedimiento de la lección 1). Los valores obtenidos serán los puntos críticos de la función.

$f^{\prime}(x)=24x^2-12x$

$f^{\prime}(x)=12x(2x-1)$

$12x(2x-1)=0$

$12x=0$ $x=0/12$ $x=0$

$2x-1=0$ $2x=1$ $x=\frac{1}{2}$

Los puntos críticos son $x=0$ y $x=\frac{1}{2}$

2. Hallar la segunda derivada y remplazar los puntos críticos obtenidos.

$f^{\prime}(x)=24x^2-12x$

$f^{\prime\prime}(x)=48x-12$

Remplazamos $x=0$

$f^{\prime\prime}(0)=48(0)-12$

$f{\prime}(0)=-12$ entonces $-12<0$ decimos que existe un MAXIMO RELATIVO EN 0.

Remplazamos $x=\frac{1}{2}$

$f^{\prime\prime}(\frac{1}{2})=48\frac{1}{2}-12$

$f^{\prime\prime}(\frac{1}{2})=12$ entonces $12>0$ decimos que existe un MINIMO RELATIVO EN $\frac{1}{2}$ .

3. Remplazamos los puntos críticos en la función original para determinar el punto (x,y) en donde se encuentran los valores máximos y mínimos. Se expresan de la forma: (punto crítico, f(a))

$f(x)=8x^3-6x^2+7$

$f(0)=8(0)^3-6(0)x^2+7$

$f(0)=7$

(0,7) SE ENCUENTRA EL MAXIMO RELATIVO

$f(x)=8x^3-6x^2+7$

$f(\frac{1}{2})=8(\frac{1}{2})^3-6(\frac{1}{2})^2+7$

$f(\frac{1}{2})=\frac{13}{2}$

$(\frac{1}{2},\frac{13}{2})$ SE ENCUENTRA EL MINIMO RELATIVO