GENERALIDADES
Significado de variable: una variable es un símbolo constituyente de un predicado, fórmula o algoritmo o de una proposición. El término «variable» se utiliza aun fuera del ámbito matemático para designar una cantidad susceptible de tomar distintos valores numéricos dentro de un conjunto de números especificado.
Uno de los propósitos del lenguaje matemático es poder expresar en forma general, propiedades que se cumplen para todos los elementos de un conjunto. Por eso se utilizan las letras para representar los números. Hemos visto que para cualquier par de números naturales, enteros o racionales, el orden en que se adicionan no afecta la suma. Esa propiedad recibe el nombre de propiedad conmutativa de la adición y la generalizamos de la siguiente manera:
No toda operación tiene esta propiedad. Para mostrarlo, hemos inventado una operación que llamamos "dutrición".
Ejemplo 1: José recibe los siguientes mensajes:
Uno está escrito en inglés, otro en alemán y el otro en francés. Él no sabe ninguno de los idiomas y, por tanto, no puede saber qué dicen las frases. Solicita entonces que los mensajes se los envíen en un lenguaje que él pueda entender.
Los nuevos mensajes que recibió José fueron:
De esta forma José logró entender cada mensaje. Escribe con una frase, en tu idioma, qué dice cada mensaje que recibió José.
Ejemplo 2: Para dos números naturales definimos la operación dutrición de la siguiente manera: al primer número lo duplicamos, al segundo lo triplicamos y adicionamos los resultados.¿Es la operación dutrición conmutativa?
Si los números son \(4\) y \(9\), entonces la dutri es: \((2*4)+(3*9)=35\)
Si los números son \(9\) y \(4\) entonces la dutri es: \((2*9)+(3*4)=30\)
Como \(35\) diferente de \(30\), la operación dutrición no es conmutativa.
Si una propiedad se cumple solo en algunos casos, no se puede generalizar. Por ejemplo, simplificar una fracción significa dividir el numerador y el denominador por un divisor común a ambos. Al simplificar se obtiene una fracción equivalente.
En el cuaderno de un alumno de grado séptimo se encontró la siguiente operación:
\(\frac{16}{64}=\frac{1}{4}\) y \(\frac{19}{95}=\frac{1}{5}\)
La forma como el alumno la realizó, en ambos casos, lo llevó a obtener fracciones equivalentes, sin embargo, este proceso no sirve para simplificar cualquier fracción, como constatamos en los siguientes casos.
\(\frac{45}{54}\) diferente de \(\frac{4}{4}\) y \(\frac{28}{42}\) diferente de \(\frac{8}{4}\)
Por tanto, no podemos generalizar el proceso usado por el alumno.
A veces queremos generalizar una propiedad, porque nos ayuda a resolver algún problema.
Ejemplo 3: ¿Cuántas diagonales pueden trazarse desde un vértice en un polígono de \(50\) lados?
Para resolver el problema, analizamos unos cuántos casos sencillos. Luego, generalizamos usando letras para representar el número de lados y expresar la relación que existen entre este y el número de diagonales. Finalmente, resolvemos el problema.
Así, concluimos que desde un vértice de un polígono de \(50\) lados pueden trazarse \(47\) diagonales.
PREGUNTA: Observo la figura, busco inicialmente una generalización para luego resolver: ¿cuántos cuadrado hay en la décima cruz?