MATEMÁTICAS 11: 3 Lección: Números críticos y monotonía de una función.: Números críticos y monotonía de una función

3 Lección: Números críticos y monotonía de una función.

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Los números críticos son aquellos valores que resultan de igualar la derivada de una función a cero . También se denominan raíces o ceros de la función derivada.

SI f esta definida en a, se dirá que a es un numero critico de f si f'(a)=0 o si f no esta definida en a.

Para una función cuadrática, es decir de la forma $\Huge ax^2+bx+c$ , los números críticos se determinan aplicando la fórmula:

$\Huge x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ en donde encontramos dos soluciones.

Ejemplo:

Encontrar los números críticos de la función: $f(x)= 5x^2 + 4x$

Precedimiento:

1. Calcular la derivada de la función.

2. Igualar la derivada a cero y despejar la x; utilizar la fórmula general si es necesario.

La derivada de la función es: $f'(x) = 10x + 4$

Igualamos a cero: $f'(x) = 10x + 4=0$

Despejamos la x:

$10x + 4=0$

$x = -\frac{2}{5}$ éste es el número crítico.

Para calcular el punto se reemplaza el valor del número en la ecuación original:

$f(x)= 5x^2 + 4x$

$f(-2/5)= 5(-\frac{2}{5})^2 + 4(-\frac{2}{5}) = y$

$y=-\frac{4}{5}$

Punto crítico: $\left(-\frac{2}{5},\frac{4}{5}\right)$

DETERMINACION DE INTERVALOS DE CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO

Una función y=f(x) es monótona para x=a si es creciente o decreciente en el punto a, así:

y=f(x) es creciente si al crecer x también crece y.

y=f(x) es decreciente si al crecer x también decrece y.

PROCEDIMIENTO PARA DETERMINAR LOS INTERVALOS DE CRECIMIENTO O DECRECIMIENTO

Para determinar los intervalos de crecimiento o decrecimiento de una función debemos realizar los siguientes pasos:

1. Derivar la función.

2. Obtener los números críticos o raíces de ésta función resultante. Recuerda que hallar las raíces consiste en determinar el valor de la variable $x$ . Para ello hacemos f´(x)=0.

3. Formamos intervalos abiertos con las raíces obtenidas.

4. Tomamos un valor perteneciente a cada intervalo y remplazamos en la función derivada.

5. Comparamos el signo del resultado y el criterio estará dado por:

Si f´(x)>0 la función es creciente.

Si f´(x)<0 la función es decreciente.

6. Escribimos los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

EJERCICIO PRÁCTICO:

Determinar los intervalos de crecimiento o decrecimiento de la función:

f(x)= $x^3-3x+1$

1. Derivar la función:

f´(x)= $3x^2-3$

2. Obtener las raíces o ceros de la función haciendo f´(x)=0:

$3x^2-3=0$

Utilizando la fórmula para determinar los ceros de una función cuadrática, es decir de la forma $ax^2+bx+c$ :

x= $\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$3x^2-3=0$ donde a=3 ; b=0 ; c=-3

x= $\frac{-0\pm \sqrt{0^2-4*3*(-3)}}{2*3}$

$x_1=\frac{-0+\sqrt{0^2-4*3*(-3)}}{2*3}$

$x_1=\frac{6}{6}$

$x_1=1$

$x_2=\frac{-0-\sqrt{0^2-4*3*(-3)}}{2*3}$

$x_2=-\frac{6}{6}$

$x_2=-1$

3. Tomamos intervalos abiertos con los ceros de la función derivada obtenidos en el paso anterior:

$(-\infty,-1)$ $(-1,1)$ $(1,\infty)$

4a. Tomamos un valor que pertenezca a cada intervalo:

$(-\infty,-1)$ Tomamos el -2 (puedes ser o cualquier valor que pertenezca a este intervalo)

$(-1,1)$ Tomamos el 0 (puedes ser o cualquier valor que pertenezca a este intervalo)

$(1,\infty)$ Tomamos el 2 (puedes ser o cualquier valor que pertenezca a este intervalo).

4b. Remplazamos en la función derivada cada uno de los valores escogidos de cada intervalo:

$3x^2-3=0$

x=-2

$3(-2)^2-3=9$ como f´(-2)>0 decimos que en este intervalo la función es creciente.

x=0

$3(0)^2-3=-3$ como f´(0)<0 decimos que en este intervalo la función es decreciente.

x=2

$3(2)^2-3=9$ como f´(2)>0 decimos que en este intervalo la función es creciente.

5. Escribir los intervalos de crecimiento y decrecimiento:

$(-\infty,-1)$ Crecimiento

$(-1,1)$ Decrecimiento

$(1,\infty)$ Crecimiento