CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS

ELEMENTOS DEL TRIÁNGULO

El triángulo es el polígono más simple y también el más fundamental, ya que cualquier polígono puede resolverse en triángulos; por ejemplo, trazando todas las diagonales a partir de un vértice, o, más en general, uniendo todos los vértices con un mismo punto interior al polígono.

Un triángulo tiene elementos primarios y elementos secundarios.

Elementos primarios: Corresponden a los vértices, lados, ángulos interiores y ángulos exteriores.

Elementos secundarios: Corresponden a la altura, bisectriz, simetral, transversal de gravedad y mediana.

Vértices

Son los puntos de origen de los segmentos.

Se nombran con letras mayúsculas: A, B, C ... Z.

Lados

Son los segmentos de la poligonal. Se designan por las dos letras de sus extremos coronadas por un pequeño trazo:

o por una letra minúscula (a, b, c) que corresponde a la letra que nombra el vértice opuesto (A, B, C).

Ángulos interiores

Son aquellos formados por cada par de lados consecutivos del triángulo. Se denominan por las tres letras mayúsculas de los vértices o por una letra griega ubicada entre los lados del ángulo.

En los problemas se usan las últimas letras del alfabeto en minúscula para designar incógnitas.

Ángulos exteriores

Son los ángulos formados por un lado del triángulo y la prolongación de otro hacia la región exterior.

Se nombran generalmente por la letra del ángulo interior adyacente con un subíndice.

Alturas

Son segmentos perpendiculares (segmentos que forman ángulos de 90º) a un lado o a su prolongación desde el vértice opuesto. La altura se designa con la letra h y un subíndice que señala el lado del cual se levanta.

Un triángulo tiene tres alturas, una por cada lado (h_a, h_b, h_c).

El punto O donde concurren las tres alturas se llama Ortocentro (O).

El lado y su altura forman un ángulo de \(90\circ\).

Bisectrices

Es la recta que divide un ángulo en su mitad.

Un triángulo tiene \(3\) bisectrices, uno por cada ángulo y se designan normalmente por la letra b y un subíndice que señala el respectivo ángulo interior.

El punto O donde concurren las tres bisectrices se llama incentro. El incentro corresponde al centro de una circunferencia inscrita en el triángulo.

Simetrales o Mediatrices

Corresponden a rectas perpendiculares a cada uno de los lados del triángulo en su punto medio.

Las tres simetrales se cortan en un punto llamado (O) circuncentro. La circunferencia pasa por los tres vértices.

Siempre debe tenerse en cuenta que:
Si existe una simetral, existe un ángulo recto y un punto medio.
La simetral no siempre pasa por el vértice opuesto.
Todo triángulo se puede acotar o envolver un círculo cuyo centro es el circuncentro.

Transversales de gravedad

Es el segmento trazado desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto. Todo triángulo tiene tres transversales de gravedad, una por cada lado y se designan normalmente con la letra t y un subíndice que señala el lado (t_a, t_b, t_c ).

El punto donde se intersectan las tres simetrales se llama baricentro o centro de gravedad y se representa con la letra G.

Medianas

Son los segmentos que unen directamente los puntos medios de dos lados del triángulo, de dos en dos.

La mediana se designa con la letra m y un subíndice que indica el lado sobre el cual se proyecta.

La mediana tiene una longitud igual a la mitad del lado paralelo.

FD = ½ AC; DE = ½ AB; EF = ½ CB;

Al trazar las tres medianas de un triángulo, éste queda dividido en cuatro triángulos congruentes.

PROPIEDADES DE LOS TRIÁNGULOS:

1. Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.

a < b + c

a > b - c

2. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.

A + B + C =180º

3. El valor de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.

α = A + B

α = 180º - C

4. En un triángulo a mayor lado se opone mayor ángulo.

5. Si un triángulo tiene dos lados iguales, sus ángulos opuestos también son iguales.

CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS USANDO COMO DATOS LADOS Y ÁNGULOS.

Para determinar un triángulo es preciso conocer tres de sus elementos y al menos uno de ellos debe ser un lado.

1. Construcción de un triángulo, conocidos dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.

Paso 1 → Se representa uno de los segmentos.

Paso 2 → Se traza el ángulo que forman los lados.

Paso 3 → Se lleva el segundo lado conocido sobre el lado del ángulo.

Paso 4 → Basta con unir los extremos de los dos lados para construir el triángulo.

A continuación encontrará una aplicación interactiva que puede ver en la dirección web: http://educacionplastica.net/zirkel/triangulo4_sol.html