MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Moda: es el valor con una mayor frecuencia en una distribución de datos. Es el valor que más se repite.Mediana: representa el valor de la variable de posición central en un conjunto de datos ordenados.Media aritmética: (también llamada promedio o simplemente media) de un conjunto finito de números es el valor característico de una serie de datos cuantitativos objeto de estudio que parte del principio de la esperanza matemática o valor esperado, se obtiene a partir de la suma de todos sus valores dividida entre el número de sumandos.
Ejemplo 1: A continuación vemos la edad en meses, de \(35\) alumnos de un curso de grado séptimo:
Tabla 1. Edad de alumnos de séptimo.De acuerdo a esos datos la mayor parte de los estudiantes de ese curso tiene \(155\) meses. Ese dato se llama moda. Como la característica “edad” es cuantitativa continua, se puede agrupar.Al agrupar los datos de la tabla 1, en intervalos de \(3\) meses cada uno obtenemos la tabla siguiente:Tabla 2. Intervalos de 3 meses.El histograma correspondiente a la característica “edad en meses” se muestra en la figura 1:Figura 1 Histograma de “edad en meses”.
Ni la lectura de la tabla con los datos agrupados ni el histograma, nos permiten identificar cuál es el valor de la característica o variable que tiene la mayor frecuencia; sólo podemos decir que el intervalo \(154-156\) es el de mayor frecuencia. Ese intervalo lo llamamos intervalo modal o clase modal.
Figura 2 Concepto de intervalo modal o clase modal.
Si consideramos ahora, una vez más, los datos correspondientes a la edad en meses de los estudiantes del curso de grado séptimo, que están en la tabla 1 de la lección, podemos preguntarnos: ¿cuál es la edad de un alumno que es mayor o de la misma edad que la mitad de sus compañeros y también es menor o de la misma edad que la otra mitad?Si los datos no están agrupado, se ordenan; se resulta un número impar de datos, tomamos el dato central; si hay un número par de datos, hallamos el promedio de los datos centrales.De acuerdo con la tabla, los datos ordenados son:y como se trata de \(35\) datos, el dato central (155 meses) es el que aparece en el decimoctavo lugar. Observemos que hay \(17\) datos antes del \(155\) y también \(17\) después. Ese dato se llama mediana del conjunto de datos.Cuando los datos se agrupan no es fácil hallar la mediana, pero sí puede determinarse el intervalo donde ella se encuentra. En nuestro caso, se consideramos la tabla de frecuencias número 3 y en ella calculamos las frecuencias acumuladas de los intervalos, podemos asegurar que el decimoctavo dato está en el intervalo \(154-156\). Este intervalo se llama intervalo mediano o clase mediana.Tabla 3. Edad en meses y frecuencia acumulada.Figura 3. Concepto de intervalo mediano o clase mediana.
Para los datos que estamos estudiando es posible suponer que todos los estudiantes tuvieran la misma edad pero que la suma de edades no cambiará, y calcularla, es decir, determinar la media aritmética de la edad de los \(35\) estudiantes del curso de grado séptimo. Para hacerlo, podemos adicionar las \(35\) edades y dividir por \(35\) o también, usando la tabla, calcular esa suma y luego dividir por el número total de estudiantes, tal como lo muestra la tabla 4.
Tabla 4. Calculo de edad por frecuencia.La edad promedio o media aritmética de las edades es \(\frac{5406}{35} \ =\ 154,46\) meses, que corresponde a \(154 \ meses\) y \(14 \ d\acute{imath}as\).Cuando los datos se agrupan, el procedimiento para calcular la media aritmética es análogo, pero se utilizan los puntos medios de cada intervalo en vez de cada uno de los datos. Veámoslo en la tabla 5.
Tabla 5. Calculo de dato medio por frecuencia.En este caso la media aritmética de los datos agrupados es \(\frac{5407}{35} \ =\ 154,49\) meses que corresponde a \(154 \ meses\) y \(15 \ d\acute{imath}as\).Aunque se pierde algo de precisión, el resultado es bastante aproximado.
Figura 4. Concepto de media aritmética.
Ejemplo 2. En una prueba de rendimiento, los puntajes de matemáticas de un grupo de alumnos de grado 7o. Fueron los que se ven en la tabla 6. Encontremos la moda, la mediana, la media aritmética, el intervalo modal y el intervalo mediano de los datos de la tabla.
Tabla 6. Puntaje de matemáticas.→La moda o nota con mayor frecuencia fue \(6,0\), obtenida por \(4\) alumnos.→Como son \(21\) alumnos, la nota que supera o iguala a la mitad, es decir la mediana, es la que aparece en el puesto once, es decir, \(6,4\).→La nota promedio o media aritmética del curso en la prueba de matemáticas fue: \(\frac{138,6}{21}\ =\ 6,6\).Si agrupamos los datos, usando intervalos de \(0,9\), la tabla agrupada resultante es la 7.
Tabla 7. Puntaje de matemáticas agrupados.→ La clase modal que tiene la mayor frecuencia es el intervalo \(6,3-7,1\). Observamos que en ese intervalo modal no está la moda que se tenía en los datos no agrupados y que era la nota \(6,0\).→ La clase mediana o intervalo mediano es aquel que tiene el dato undécimo, que para esta tabla es el intervalo \(6,3-7,7\), porque \(15\) es la primera frecuencia acumulada mayor o igual a \(11\).La media aritmética da \(\frac{137,1}{21} \ =\ 6,53\). Este valor es muy cercano al obtenido al no agrupar los datos.PREGUNTA: Se le preguntó a los alumnos de grado séptimo cuál era la cantidad de dinero que recibían semanalmente para sus gastos personales. Las respuestas se presentan en la tabla 8. ¿cuál es la media aritmética?.
Tabla 8. Pregunta.