SUBCONJUNTOS O PARTES DE UN CONJUNTO
Figura 1. Concepto.
Ejemplo 1: Nicolás escribe en notación de conjunto al grupo formado por él y sus tres mejores amigos, con el fin de organizar entre ellos posibles grupos de estudio:
{Juan, Jairo, Carlos, Nicolás}
Figura 2. Grupos de estudio.
Él sabe que cada uno estudia sólo algunas materias, pero para rendir en otras, les gusta reunirse en grupos de dos, tres y a veces cuatro. Entonces escribe todos los posibles “grupos” de estudio que pueden formarse, incluyendo el caso especial en que estudie cada uno solo:
Grupos de un estudiante:{Juan}, {Jairo}, {Carlos}, {Nicolás}.
Grupos de dos estudiantes:{Juan. Jairo}, {Juan, Carlos}, {Juan, Nicolás}, {Jairo, Carlos}, {Jairo, Carlos, Nicolás}.
Grupos de tres estudiantes: {Juan, Jairo, Carlos}, {Juan, Jairo, Nicolás}, {Juan, Carlos, Nicolás}, {Jairo, Carlos, Nicolás}.
Grupos de cuatro estudiantes: {Juan, Jairo, Carlos, Nicolás}.
Como le resultan \(15\) grupos, comienza a programar un horario de estudio.
La maestra que está atenta al trabajo de Nicolás, le hace notar que para cada grupo o conjunto que formó se cumple que todos los elementos de los grupos de estudio son, a su vez, elementos del grupo de sus mejores amigos, es decir, cada grupo de estudio es una parte o subconjunto del grupo de sus amigos.
Le explica que si quiere saber el total de subconjuntos de un conjunto de \(4\) elementos, debe aceptar al conjunto vacío como subconjunto de todo conjunto y entonces, para el caso del conjunto de sus \(4\) amigos, tendrá \(16\) subconjuntos, es decir, \(2^4\) subconjuntos.
Ejemplo 2: Encontremos y escribamos todos los subconjuntos, del conjunto formado por las letras de la palabra “dos”.
El conjunto \(A= \{d, o, s \}\) tiene \(3\) elementos.
Los subconjuntos de \(A\) son: \(\emptyset\), \(\{d \}\), \(\{ o \}\), \(\{ s \}\), \(\{d, o \}\), \(\{d, s \}\), \(\{o, s \}\), \(\{ d, o, s \}\)
Observamos que resulta \(8\) subconjuntos del conjunto \(A\), que tiene \(3\) elementos.
El número de elementos de \(\mathcal{P} \(A\) \ = \ 2^3 \ =\ 8\)
Ejemplo 3: Cada curso del colegio tiene \(2\) representantes en el Consejo Estudiantil. Ángela, Luis y Mario, estudiantes de un curso de grado \(7^{\circ}\), se lanzan como candidatos. Con esos \(3\) estudiantes, ¿de qué manera podríamos formar las parejas que pueden representar al curso ante el consejo estudiantil?
Basta encontrar los subconjuntos con dos elementos que tene el conjunto formado por Ángela, Luis, Mario.
Esos subconjuntos son:
\(\{ \acute{A}ngela, Luis \}\)
\(\{ \acute{A}ngela, Mario \}\)
\(\{ Luis, Mario \}\)
Algunas de esas parejas de alumnos representaré al curso ante el consejo estudiantil.
También se pueden establecer estos conjuntos usando el siguiente diagrama de árbol.
Figura 3. Diagrama de árbol ejemplo 3.
Ejemplo 4: Estamos en el primer día del mes de octubre de un año que en cuanto al clima, se ha comportado en forma tradicional. El maestro de un curso de grado séptimo pide a dos de sus alumnos que preparen en informe con la previsión del tiempo para el día \(12\) de octubre, cuando se celebrará el descubrimiento de América, el día de la raza y el día del árbol; ese día los alumnos deberán salir a plantar algunos árboles.
Figura 4. Ejemplo 4
Consultado con el maestro sobre su trabajo, él les recomienda construir una escala que les permita ubicar sus predicciones, tomando como referencia lo que ha ocurrido con el tiempo ese día, durante los últimos \(10\) años.
Ana y Carlos consultaron los registros meteorológicos de su ciudad, y encontraron que durante los últimos \(10\) años, el día \(12\) de octubre, \(9\) años ha llovido, un año ha hecho sol, un año hubo cielo despejado, \(8\) años hubo cielo nublado, nunca hizo viento y \(8\) años la temperatura fue menor a \(20\) grados. Usando estos datos, asignan un valor a cada evento, entre \(0\) y \(1\), así:
Tabla 1. Asignación de cada valor.
A la expresión seguro le asignan \(1\).
A la expresión casi seguro le atribuyen \(\frac{9}{10} \ =\ 0,9\).
A las expresiones muy posible, muy probable le asignan \(\frac{8}{10} \ =\ 0,8\)
A la expresión poco posible le asignan \(\frac{3}{10} \ =\ 0,3\).
A la expresión imposible le asignan \(0\).
Con su escala, elaboran el siguiente informe de pronóstico del clima:
Figura 5. Probabilidad de la ocurrencia.
Ejemplo 5: En una caja hay cinco tarjetas numeradas: \(1, 2, 3, 4, 5\). Se saca una tarjeta. ¿Cuál es la probabilidad de que salga cualquier número entre \(1\) y \(5\)? ¿Cuál es la probabilidad de que salga un número entre \(6\) y \(9\)?
→La probabilidad de que salga un número entre \(1\) y \(5\) es \(1\), porque es seguro que saldrá un número entre \(1\) y \(5\), ya que en la caja no hay más.
→La probabilidad de que salga un número entre \(6\) y \(9\) es \(0\), porque es imposible sacar una tarjeta que no está en la caja.
En el ejemplo anterior la probabilidad de sacar un número par es menor que la probabilidad de sacar un número impar, porque en la caja hay dos números pares y tres impares.
¿Cómo calcular la probabilidad de que ocurra un suceso?
Si se lanza una moneda \(1000\) veces, es seguro que la frecuencia absoluta de obtener cara y la de obtener sello sea casi igual a \(500\) para cada una. Es posible que no sean exactamente iguales a ese número, peor estarán muy cercanas. La frecuencia relativa de casa y la de sello será un número muy cercano a \(\frac{1}{2}\), porque se puede decir que es igual de probable que salga cara o sello.
Figura 6 Monedas cara y sello.
Si en una bolsa hay \(10\) bolas rojas y \(5\) amarillas, es seguro que al repetir \(120\) veces la extracción de las bolas (devolviendo a la bolsa la bola que se saca), la frecuencia de extraer una bola roja será casi el dobles de la frecuencia de extraer una amarilla (más o menos \(80\) bolas rojas por cada \(40\) amarillas). En tal caso la frecuencia relativa de “sacar una bola roja será \(\frac{2}{3}\) y la de sacar una bola amarilla será \(\frac{1}{3}\)”.
Figura 7. Probabilidad experimental.
Una manera mas corta y sencilla de encontrar la probabilidad de un evento es calculando la probabilidad teórica.
Figura 8. Probabilidad teórica.
Nota: la probabilidad experimental es una buena aproximación de la probabilidad teórica.
Ejemplo 6: ¿Cuál es la probabilidad de obtener \(5\) al lanzar un dado?
El total de sucesos posibles es \(6\). Como en un dado hay un solo número cinco, la probabilidad de lanzar el dado y sacar \(5\) es \(\frac{1}{6}\).
Ejemplo 7: Si una familia tiene dos hijos, ¿cuál es la probabilidad de que ambos sean mujeres?
Los posibles resultados de la distribución de sexo en una familia de dos hijos son:
H H, HM, MH y MM
que pueden obtenerse mediante el diagrama de árbol de la figura siguiente:
Figura 9. Diagrama de árbol ejemplo 7.
Sólo el evento MM cumple la condición pedida.
Luego la probabilidad de que en una familia con dos hijos ambos sean mujeres es \(\frac{1}{4}\).
PREGUNTA: Se colocan \(10\) balotas en una bolsa: \(5\) son verdes, \(3\) son azules y \(2\) son amarillas, una vez saco la balota, miro el color y la vuelvo a meter a la bola.
Figura 10. Pregunta.
¿Cuál es la probabilidad de sacar una balota de color azul?