LA ENERGÍA EN EL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
En el análisis del movimiento armónico simple, por ejemplo el de un cuerpo que oscila sujeto al extremo de un resorte se produce fricción. La fuerza neta que actúa sobre el objeto es la fuerza elástica que actúa sobre el resorte, la cual es conservativa y en consecuencia, en el movimiento armónico simple, la energía mecánica total se conserva.
Al pasar por la posición de equilibrio, mientras el objeto oscila, la energía potencial elástica es cero y la energía cinética es diferente de cero. Por tanto la energía mecánica del sistema es solo cinética lo cual implica que en el punto de equilibrio el objeto tiene velocidad máxima. En los extremos de la trayectoria la energía cinética es cero y la energía mecánica solo es potencial elástica.
Observa que para el caso ilustrado en la figura se tiene:
EN LOS EXTREMOS:
La elongación es \(x =-A\) y \(x = A\)
En el movimiento armónico la fuerza de restitución es:
\(F=-kx\)
Entonces la fuerza ejercida por el resorte es:
\(F=kA\) en el lado izquierdo y \(F=-kA\) en el lado derecho.
De acuerdo con la segunda ley de Newton,
\(F=ma\)
Por igualación de ecuaciones se tiene que la aceleración es:
\(a=k.A/m\) para el lado izquierdo y \(a=-k.A/m\) para el extremo derecho.
Como la energía potencial elástica asociada a un resorte es:
\(E_p=1/2.k.x^2\)
Donde \(x\) es la deformación, entonces la energía potencial elástica en los dos extremos es la misma e igual a:
\(E_p=1/2.k.A^2\)
La velocidad es nula en \(x =-A\), \(x=A\) y como la energía cinética es:
\(E_c=1/2.m.v^2\)
La energía cinética en estos puntos es cero. Por tanto la energía mecánica total en el sistema es:
\(E=E_c+E_p=0+1/2.k.A^2=1/2.k.A^2\)
EN LA POSICION DE EQUILIBRIO:
La elongación es \(x=0\)
Por tanto la fuerza ejercida sobre el resorte es:
\(F=0\)
De donde la aceleración es cero. La energía potencial elástica es 0.
\(E_p=0\)
Como la velocidad es \(v=v_max\), entonces la energía cinética es:
\(E_c=1/2.m.v_max^2\)
Le energía mecánica por tanto es:
\(E=E_c+E_p=1/2.m.v_max^2+0=1/2.m.v_max^2\)
A continuación se muestra la gráfica de la energía potencial elástica de un movimiento armónico simple en función de la deformación entre –A y A. Para cualquier valor de x, la energía potencial elástica es:
Por tanto la gráfica es una parábola. En ausencia de rozamiento se cumple que la energía mecánica \(E_m\) es constante, es decir,
\(E_m = E_p+E_c=constante\). luego \(E_p = E_c\)
RECORDEMOS
En los extremos \(E_c=0\) y \(E_p=1/2kx^2\)
En punto de equilibrio \(E_p=0\) y \(E_c=1/2mv^2\)
Ejemplo 1: Una masa de \(200 g\) está atada al extremo de un resorte cuya constante elástica es \(50 N/m\). Inicialmente el resorte se estira \(3 cm\) a partir de la posición de equilibrio y se suelta. Calcula la rapidez cuando pasa por la posición de equilibrio.
Solución:
En la posición inicial, la energia mecánica es:
\(E_m=E_c+E_p=0+\frac{1}{2}kx^2=\frac{1}{2}*50N/m*0.03 m^2=0.0225 J\)
En la posición de equilibrio, la energia mecánica es:
\(E_m=E_C+E_p=\frac{1}{2}mv^2+0=\frac{1}{2}*0.2 kg*v^2\)
Puesto que la energia mecánica se conserva, la rapidez en la posición de equilibrio es:
\(E_c=E_p\)
\(\frac{1}{2}*0.2 kg*v^2=0.0225\ J\)
Por tanto, \(v=0.47\ m/s\)
La rapidez cuando pasa por la posición de equilibrio es \(0.47\ m/s\)
Ejemplo 2: Un cuerpo de \(4.5\ kg\) oscila atado a un resorte de constante \(200\ N/m\). Si la velocidad en la posición de equilibrio es de \(2\ m/s\) y no se considera la fricción, determina:
a) La energía mecánica
b) La amplitud del movimiento
En la posición de equilibrio, la energia potencial elástica es igual a cero, por tanto la energia mecánica es igual a la energia cinetica, es decir
\(E=\frac{1}{2}*m*v^2=\frac{1}{2}*4.5\ kg*(2 m/s)^2=9\ J\)
b) En el punto en el cual el resorte alcanza la máxima elongación, la energía potencial elástica es máxima y la energía cinética es cero, por tanto la energía mecánica en los extremos de la trayectoria es:
\(E=\frac{1}{2}*200 N/m*x^2\)
Al igualar la energia mecánica total en el extremo con la energía mecánica total en la posición de equilibrio, obtenemos:
\(9\ J=\frac{1}{2}*200 N/m*x^2\)
De donde:
\(x=A=0.3\ m\)
La amplitud del movimiento es \(0.3\ m\)
PREGUNTA: De la situación anterior, el periodo de oscilación es:
Nota: Para determinar el periodo de oscilación es \(T=2*\pi*\sqrt{\frac{m}{k}\)