REPARTOS PROPORCIONALES
REPARTO PROPORCIONAL DIRECTO:
EJEMPLO1: El Padre de \(3\) niños quiere premiar a sus hijos por la dedicación al estudio. Como los tres coleccionan estampillas, el padre compra \(105\) para repartírselas proporcionalmente de acuerdo con sus edades. Los niños tienen \(6\), \(7\) y \(8\) años.
Como las \(105\) estampillas se repartirán todas, proporcionalmente, podemos establecer la siguiente proporción:
\(\frac{Edad\ de\ cada\ ni\~no}{Suma\ de\ las\ edades}= \frac{\ No.\ Estampillas\ para\ ese\ ni\~no}{No.\ Total\ de\ estampillas}\)
Con base en esta proporción, el padre elabora una tabla, teniendo en cuenta las propiedades de la proporcionalidad directa:
Para el que tiene \(8\) años: \(\frac{8}{21} = \frac {x}{105}\), de donde \(x=40\).
Para el que tiene \(7\) años: \(\frac{7}{21} = \frac{y}{105}\), por tanto \(y=35\).
Para el que tiene \(6\) años: \(frac{6}{21} = \frac{z}{105}\), de donde \(z=30\).
El papa hizo \(3\) montones de estampillas, y las repartió así: al mayor le regaló \(40\); al segundo le dio \(35\) y al menor le dio \(30\).
REPARTO PROPOCIONAL INVERSO:
La mamá de los niños ha escuchado al padre, le sugiere repartir las \(105\) estampillas en partes inversamente proporcionales al número de estampillas que cada niño tiene. El mayor tienE \(10\), el segundo tiene \(12\) y el menor tiene \(15\).
Como el reparto es inversamente proporcional, podemos establecer la siguiente proporción:
\(\frac{Inverso\ del\ No.\ de\ estampillas\ de\ un\ ni\~no}{Suma\ de\ los\ inversos de\ las\ estampillas\ que\ tiene\ cada\ uno} = \frac{No.\ de\ estampillas\ para\ ni\~no}{No.\ total\ de\ estampillas}\)
La mamá sugiere repartir así:
Para el menor:
\(\frac{\frac{1}{15}}{\frac{1}{10}+\frac{1}{12}+\frac{1}{15}}\ =\ \frac{x}{105}\)
Como \(\frac{1}{10}+\frac{1}{12}+\frac{1}{15}\ =\ \frac{1}{4}\)
Entonces \(\frac{\frac{1}{15}}{\frac{1}{4}}\ =\ \frac{x}{105}\)
De donde: \(\frac{4}{15}\ =\ \frac{x}{105}\)
\(x\ =\ 28\)
Para el mediano:
\(\frac{4}{12}\ =\ \frac{y}{105}\), por tanto: \(y\ =\ 35\)
Para el mayor:
\(\frac{4}{10}\ =\ \frac{z}{105}\), por tanto: \(z\ =\ 42\)
REPARTO PROPORCIONAL COMPUESTO:
Del mismo ejemplo, tenemos que el reparto propuesto por la mamá no fue del agrado del papá. Preocupado por este problema familiar, el menor de los niños habla con su profesor, quien le dice que es posible darle gusto a ambos padres, realizando un reparto compuesto de las estampillas en partes directamente proporcionales a las edades y, simultáneamente, inversamente proporcional al número de estampillas que ya cada uno en su colección.
Basta repartir las estampillas en forma directamente proporcional al producto de cada edad por el inverso del número de estampillas de cada uno, es decir, a los números:
\( 8\times \frac{1}{10} = \frac{8}{10}\)
\( 7\times \frac{1}{12} = \frac{7}{12}\)
\( 6\times \frac{1}{15} = \frac{6}{15}\)
Expresando las fracciones con un denominador común obtenemos:
\(\frac{48}{60}\), \(\frac{35}{60}\) y \(\frac{24}{60}\)
Como debe repartir \(105\) estampillas en partes directamente proporcionales a \(\frac{48}{60}\), \(\frac{35}{60}\) y \(\frac{24}{60}\), basta repartirlas proporcionalmente a \(48\), \(35\) y \(24\).
Para el mayor: \(\frac{48}{107} = \frac{x}{105}\); \(x = 47,1\)
Para el mediano: \(\frac{38}{107} = \frac{y}{105}\); \(y = 34,3\)
Para el menor: \(\frac{24}{107} = \frac{z}{105}\); \(z = 23,5\)
Con este procedimiento, el profesor hace la siguiente tabla:
PREGUNTA: En una empresa se reparte una prima especial por un total de \( $3\ 000\ 000\), entre \(2\) empleados cuyo trabajo permitió mayores ganancias. Si el reparto se hace en partes inversamente proporcionales a sus salarios mensuales que son: trabajador \(1\)= \( 400\ 000\) y trabajador \(2\)= \( $700\ 000\), ¿cuánto le corresponde al trabajador \(1\)?