5 Lección: Determinantes.

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Uno de los métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales es eliminando alguna de las incógnitas de las dos ecuaciones. En el siguiente ejemplo, al lado derecho, eliminaremos a y para obtener x, y al lado izquierdo eliminaremos a x para hallar a y.

Ejemplo:

Resolver el sistema dado a continuación, utilizando el método de eliminación o adición o sustracción.

5x+3y=8\atop\Large 4x+7y=12

Solución:

matriz7

 

Notemos que los denominadores de y y x son iguales: 5(7)-4(3). Este número se llama determinante de la matriz de coeficiente del sistema

Ejercicios

Conocer el determinante de una matriz es importante porque nos lleva a otro método para resolver sistemas de ecuaciones lineales, llamado la regla de cramer.

A cada matriz A de orden 2\times{2}, le corresponde un número real llamado determinante de A. Si

Ejercicios, el determinante de A es el número ad-bc. Este número lo denotamos det A.

Ejemplo:

Hallemos el determinante de

Ejercicios

y de

Ejercicios

Solución:

det A=[(-3)\cdot{(5)}]-[(6)\cdot{(8)}]=-15-48=-63

det B=(11\cdot{4})-(7\cdot{7})=44-49=-5

En realidad, para cualquier matriz de dimensiones n\times{n}, existe el determinante. A continuación daremos el método para hallarlo cuando es una matriz 3\times{3}.

Método para calcular el determinante de una matriz 3\times{3}

matriz8

1. Repetimos las primeras dos columnas de la matriz dada, inmediatamente después de las originales y en el mismo orden. Estos datos los escribimos entre dos barra verticales | |.

matriz9

2. Calculemos los productos de los números en cada una de las tres diagonales, empezando por la esquina superior izquierda, y adicionamos los resultados.

matriz10

a_{11}\cdot{a_{22}}\cdot{a_{33}}+a_{12}\cdot{a_{23}}\cdot{a_{31}}+\cdot{a_{13}}\cdot{a_{21}}\cdot{a_{32}}

3. Calculamos los productos de los números de cada una de las tres diagonales, empezando por la esquina inferior izquierda, y adicionamos los resultados.

matriz11

a_{31}\cdot{a_{22}}\cdot{a_{13}}+a_{32}\cdot{a_{23}}\cdot{a_{11}}+a_{33}\cdot{a_{21}}\cdot{a_{12}}

4. Calculamos la diferencia entre el número hallado en el paso 2 y el del paso 3.

(a_{11}\cdot{a_{22}}\cdot{a_{33}}+a_{12}\cdot{a_{23}}\cdot{a_{31}}+a_{13}\cdot{a_{21}}\cdot{a_{32}})-(a_{31}\cdot{a_{22}}\cdot{a_{13}}+a_{32}\cdot{a_{23}}\cdot{a_{11}}+a_{33}\cdot{a_{21}}\cdot{a_{12}})

Ejemplo:

Hallemos la determinante de la matriz:

matriz12

Solución:

Procedemos siguiendo los pasos 1 al 4.

 matriz13

 Det A= (10 + 0 + 168) - (-24+0-60)

 Det A= 178 + 84

 Det A= 262

Es importante tener en cuenta que este método no funciona para hallar el determinante de matrices n\times{n} si n\neq 3