Una ecuación es una igualdad en la cual aparecen expresiones variables.
Ejemplo:
La expresión que muestra la relación entre distancia, velocidad promedio y tiempo es:
Distancia = velocidad * tiempo
La distancia recorrida en cuatro horas fue 240 km. ¿cuàl es la ecuación que representa este enunciado?
Solución:
Si es la velocidad promedio cada hora, la ecuación correspondiente es .
No siempre las expresiones algebraicas se relacionan a través de una igualdad. A veces la expresión verbal se refiere a una desigualdad. Esto estará indicado por el uso de frases como:
Frase
Ejemplo
Expresión algebraica
Por lo menos
La niña tiene por lo menos cinco años
Si representa la edad de la niña, escribimos
A lo sumo
El arriendo es a lo sumo $250.000
Mínimo
La cuenta de agua
Máximo
La máxima velocidad es 80 km/h.
TABLA 1. Simbolos
Expresar la desigualdad correspondiente al siguiente enunciado.
Si representa el número original de sobres, la expresión correspondiente es:
A cada pasajero de cierta aerolínea le permiten llevar un equipaje cuyo peso no exceda . Teresa lleva dos maletas, una de las cuales pesa 4 Kg más que la otra. ¿Cuál es el mayor peso que puede tener la maleta más liviana de Teresa?
La expresión "el peso de las maletas no puede exceder de " es una desigualdad.
Una desigualdad es una relación (comparación) entre dos números o expresiones. Se usan los signos: < menor que, > mayor que, menor o igual que, mayor o igual que, para establecer la comparación.
La solución de una desigualdad es el conjunto de todos los números que hagan verdadera la afirmación dada en la relación.
A pesar de que el problema enunciado difiere de los que veníamos trabajando, porque para su solución no se establece una igualdad, sino una desigualdad, y el conjunto de valores que forma la solución no es unitario, los pasos que se siguen para despejar la incógnita son similares. Se trasforma la desigualdad en desigualdades equivalentes hasta llegar a una que nos permita encontrar el conjunto solución. Haremos uso de las propiedades de las desigualdades, ya estudiadas en la unidad de reales, las cuales recordamos a continuación, para pasar de una desigualdad a otra equivalente.
1. Si a < b, entonces a + b < b + c. Propiedad aditiva
2. Si a < b y c > 0, entonces ac < bc. Propiedad multiplicativa por número positivo.
3. si a < b y c < 0, entonces ac > bc. Propiedad multiplicativa por número negativo.
Teniendo en cuenta las propiedades de las desigualdades, ahora sí resolvamos el problema.
a. Entender el problema
¿Qué trato de encontrar?
¿Qué datos tengo?
El peso del equipaje no puede exceder 20 Kg.
Una de las maletas pesa 4 Kg más que la otra.
¿Qué desconozco?
b. Generar y llevar a cabo un plan
Peso de la otra maleta: x + 4
Escribo la desigualdad y la resuelvo:
c. Hallar la respuesta y verificar
La maleta más liviana pesa copmo máximo . Por tanto, el peso de la otra maleta es como máximo. De este modo el peso de las maletas no excede los exigidos.
El peso de la maleta más liviana no es único. existen infinidad de valores que pueden asignársele y que constituyen solución del problema. Como no es posible verificar todos los valores, problemos con algunos de ellos.
Por ejemplo, si tomamos para x el y lo reemplazamos en la relación inicial, se tiene: .
La solución de una desigualdad puede representarse gráficamente sobre la recta númerica.
solucionemos y grafiquemos la desigualdad
Cualquier número menor que es la solución.