1 Lección: Derivada de una función polinómica.

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DERIVADA DE SUMA Y RESTA DE FUNCIONES

Cuando tenemos funciones formadas por la suma o resta de dos o más términos, debemos determinar la derivada de cada uno de sus términos y expresar en la mínima expresión posible.

Matemáticamente tenemos que:

Si  f(x)=g(x)\pm h(x) entonces f '(x)= g '(x)\pm h'(x)

Ejemplo: Hallar la derivada de f(x)=(2x-3x^2)(3+4x)

Este ejercicio se puede desarrollar de dos formas:

1. Como un producto directamente.

f'(x)=g'(x).h(x)+g(x)h'(x)

f(x)=(2x-3x^2)(3+4x)

f'(x)=(2-6x).(3+4x)+ (2x-3x^2)(4)

f'(x)=(6+8x-18x-24x^2)+(8x-12x^2)

f'(x)=6-2x-36x^2

2. Desarrollando la multiplicación de los factores y luego como suma de términos.

f(x)=(2x-3x^2)(3+4x)

f(x)=6x+8x^2-9x^2-12x^3

f'(x)= (6+16x-18x-36x^2)

f'(x)= 6-2x-36x^2

Puedes escoger el método que se te facilite aplicar.

DERIVADA DE PRODUCTO DE FUNCIONES (MULTIPLICACIÓN)

La derivada de un producto es igual a la derivada del primer factor por el segundo, más la derivada del segundo factor por el primero.

Matemáticamente tenemos:

f(x)=g(x).h(x)

f'(x)=g'(x).h(x)+g(x)h'(x)

Ejemplo: Hallar la derivada de la función f(x)=4x^2

Esta función la podemos escribir como producto de funciones de la siguiente manera:

f(x)= 4*x^2

f'(x)=(0 *x^2)+(4*2x)

f'(x)=(0 )+(8x)

f'(x)= 8x

DERIVADA DE COCIENTE DE FUNCIONES (DIVISIÓN)

La derivada de un cociente es igual a la derivada del numerador por el denominador, menos el numerador por la derivada del denominador, dividido todo entre el cuadrado del denominador.

Expresado matemáticamente tenemos:

f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}

f'(x)=\frac{g'(x).h(x)-g(x).h'(x)}{[h(x)]^2}

Ejemplo: Hallar la derivada de la función f(x)=\frac { 5x^2}{2x^5}

f'(x)=\frac{(10x.2x^5)-(5x^2.10x^4)}{(2x^5)^2}

f'(x)=\frac{(20x^6)-(50x^6)}{4x^10}

f'(x)=\frac{(-30x^6)}{4x^10}

f'(x)=\frac{(-15x^6)}{2x^10}

f'(x)=\frac{-15}{2x^4}

Este procedimiento también se puede realizar como derivada de un producto si lo expresamos de la forma g(x).[h(x)]^{-1}

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

Como la derivada de una función es otra función, entonces podemos tratar de hallar la derivada de esta nueva función. Si hacemos tal cosa, el resultado es de nuevo una función que pudiera ser a su vez derivada. Si continuamos así una y otra vez, tenemos lo que se conoce por derivadas de orden superior, que consiste en derivar el resultado de una derivación anterior.

La notación que utilizaremos para denotar derivadas de orden superior es:

Primera derivada f’(x)

Segunda derivada f"(x)

Tercera derivada es f’’’(x)

Cuarta derivada f(4)(x) y así sucesivamente.

Ejemplo: Hallar la tercera derivada de la función f(x)=6x3-5x2

f'(x)=18x^2-10x

f''(x)=36x-10

f'''(x)=36

Las derivadas de orden superior también son útiles en la física, cuando deseamos indagar acerca del movimiento de un objeto y obtener una medida de variación, que se logra comparando las distancias recorridas con los tiempos invertidos.

Si podemos obtener la función del desplazamiento de una partícula en función del tiempo, podemos derivar el desplazamiento respecto al tiempo para obtener la velocidad, y derivar la velocidad respecto al tiempo para obtener la aceleración de dicha partícula.

Ejemplo: El desplazamiento de una partícula está dado por la función f(t)=-16t^2+100. Determinar su velocidad y aceleración en t=2seg.

Aplicando derivadas de orden superior obtenemos:

Velocidad=v=f'(t)=-32t

Aceleración=a=f''(t)=-32

Ahora ya podemos determinar éstas variables en un instante dado. Si t=2seg entonces:

Su aceleración será -32\frac { m}{s^2} como es negativa decimos que es desaceleración, o sea que está deteniendo la partícula.

Su velocidad en t=2seg es -32(2)=-64\frac{m}{s} como es negativa significa que está disminuyendo la velocidad, nuevamente vemos que está frenando.

Y su desplazamiento está dado por  f(2) =-16(2)^2+100=64+100=164m