CONSTRUCCIÓN DE ALGUNOS NÚMEROS IRRACIONALES
Hasta el momento los irracionales se han identificado con expresiones decimales no periódicas. Pero existen diferentes formas de construir segmentos cuya longitud es un número irracional.
Irracionales por construcción geométricas
Si tenemos un cuadrado \(ABCD\) cuyo lado mide \(1 cm\), ¿cuál es la medida de la diagonal del cuadro?, observemos la figura para comprender mejor cuál es la diagonal de interés.
Recordemos que para calcular la longitud o medida de la diagonal, podemos utilizar el teorema de Pitágoras, el cual se define como \(h^2=a^2+b^2\), la hipotenusa (\(h^2\)) al cuadrado es igual a la suma de los catetos al cuadrado, y es válido sólo para los triángulos rectángulos, observemos gráficamente:
Al realizar las operaciones obtenemos como resultado que la diagonal mide \(\sqrt {2}\).
Veamos como llegamos a este resultado:
\(h^{2}=a^{2}+b^{2}\)
\(h^{2}=(1)^{2}+(1)^{2}\)
\(h^{2}=1+1\)
\(h^{2}=2\)
\(h=\sqrt{2}\)
Esta es una forma de construir o de obtener el número irracional \(sqrt{2}\). Sin embargo, hay otras construcciones geométricas que se realizan con escuadra y compás para obtener segmentos de longitudes \(sqrt{2}\) y \(sqrt{3}\). Veamos:
Ejemplo:
Utilizando escuadra y compás construyamos un segmento de longitud $ $\sqrt{2}\( y otro de longitud \)sqrt{3}\(.
Solución:
Dibujemos un segmento AB cualquiera. Este segmento será la unidad de medida \)(1 cm)\(.
Con el compás tomemos la medida AB. Con centro en A, tracemos un arco que interseque a la perpendicular en C, donde se interseque el arco con el segmento C se formará otro segmento que tendrá la misma medida del segmento AB.
Tracemos por el punto C el segmento CD que sea perpendicular al segmento CB, de longitud 1, como lo muestra la figura.
Al unir lo puntos B y D obtenemos el triángulo rectángulo BCD, cuyos catetos son los segmentos CD y DC de longitudes 1 y \)sqrt{2}\(, respectivamente. La longitud de la hipotenusa (el segmento DB) es \)sqrt{3}$$; este se determina por el teorema de Pitágoras.
En conclusión, el ejemplo muestra cómo construir con escuadra y compás, segmentos de cualquier longitudes, que pertenezca al conjunto de los números naturales.
PREGUNTA: Sea un triángulo rectángulo con lados 5cm y 4cm, de acuerdo al teorema de pitágoras, la hipotenusa es un número: