3 Lección: Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

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MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

 

La relación entre las matrices y los sistemas es aún más estrecha. Examinemos el siguiente ejemplo, en el cual resolveremos un sistema con dos ecuaciones lineales por medio de matrices.

 

Resolvamos el sistema \(\binom{3x-4y=5}{2x+5y=-12}\) utilizando matrices.

 

Expresemos el sistema como una matriz.

 

\(\binom{3x-4y=5}{2x+5y=-12}\)    \(\rightarrow\)    \( \left( \begin{array}{ccc} 3 & -4 & & 5\\2 & 5 & & -12\\ \end{array} \right) \)


  • Multiplicamos \(3x-4y=5\) por \(\frac{1}{3}\).

 

\(\binom{1x-\frac{4}{3}y=\frac{5}{3}}{2x+5y=-12}\) \(\rightarrow\)    \( \left( \begin{array}{ccc} 1 & -\frac{4}{3} & & \frac{5}{3} \\2 & 5 & & -12\\ \end{array} \right) \)

 

  • Multiplicamos \(1x-\frac{4}{3}y=\frac{5}{3}\) por \(-2\) y le adicionamos la ecuación \(2x+5y=-12\)   

 

\(\binom{1x-\frac{4}{3}y=\frac{5}{3}}{0x+\frac{23}{3}y=-\frac{46}{3}}\)    \(\rightarrow\)    \( \left( \begin{array}{ccc} 1 & \frac{-\left(4\right)}{3} & & \frac{5}{3} \\0 & \frac{23}{3} & & \frac{-\left(46\right)}{3} \\ \end{array} \right) \)

 

  • Multiplicamos la ecuación \(0x+\frac{23}{3}y=-\frac{46}{3}\) por \(\frac{3}{23}\).

 

\(\binom{1x-\frac{4}{3}y=\frac{5}{3}}{0x+1y=-2}\)    \(\rightarrow\)    \( \left( \begin{array}{ccc} 1 & \frac{-\left(4\right)}{3} & & \frac{5}{3} \\0 & 1 & & -\left(2\right)\\ \end{array} \right) \)

 

  • Multiplicamos la ecuacion \(0x+1y=-2\) por \(\frac{4}{3}\) y le adicionamos la ecuación \(1x-\frac{4}{3}y=\frac{5}{3}\)

 

\(\binom{1x+0y=-1}{0x+1y=-2}\)    \(\rightarrow\)    \( \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & & -1\\0 & 1 & & -2\\ \end{array} \right) \)

 

La solución al sistema de ecuaciones dado es \((-1,-2)\).

 

Notemos que en el proceso, si mantenemos la posición de la variable \(x\) siempre a la izquierda de \(y\), podemos prescindir de las letras \(y\) y de los simbolos + e=, ya que lo

importante son los coeficientes. De esta forma podemos usar lo que se llama la matriz aumentada del sistema para resolverlo, efectuando las correspondientes operaciones que se

hicieron con las ecuaciones en las filas de la matriz.

 

Dado el sistema de ecuaciones lineales:

 

\(ax+by=e\)

\(cx+dy=f\)


la matriz \( \left( \begin{array}{ccc} a & b\\c & d\\ \end{array} \right) \) se llama matriz de coeficientes del sistema


y la matriz \( \left( \begin{array}{ccc} a & b & & e\\c & d & & f\\ \end{array} \right) \) se llama matriz aumentada del sistema

 

 

Para el sistema anterior, la matriz de coeficientes es \( \left( \begin{array}{ccc} 3 & -4\\2 & 5\\ \end{array} \right) \) y la matriz aumentada es \( \left( \begin{array}{ccc} 3 & -4 & & 5\\2 & 5 & & -12\\ \end{array} \right) \)

 

PREGUNTA: Cual es el resultado de resolver el sistema

\(x+3y-z=-3\)

\(3x-y+2z=1\)

\(2x-y+z=-1\)