MATRICES Y DETERMINANTES
Uno de los métodos que se utilizaron anteriormente para resolver sistemas de ecuaciones lineales es eliminando alguna de las dos incógnitas de las dos ecuaciones.En el siguiente ejemplo, al lado derecho eliminaremos a \(y\) para obtener
\(x\), y al lado izquierdo eliminaremos a \(x\) para hallar \(y\).
EJEMPLO:
Resolvamos el sistema dado a continuación, utilizando el método de eliminación o adición y sustacción.
\(5x+3y=8\)
\(4x+7y=12\)
\(\{ \frac{-\left(4\right) \cdot \left(5 \cdot x+3 \cdot y\right)=-\left(4\right) \cdot 8}{5 \cdot \left(4 \cdot x+7 \cdot y\right)=5 \cdot 12}\)
\(\{ \frac{-\left(20\right) \cdot x+-\left(4\right) \cdot 3 \cdot y=-\left(4\right) \cdot 8}{20 \cdot x+5 \cdot 7 \cdot y=5 \cdot 12}\)
\(\{\left[-\left(4\right) \cdot 3+5 \cdot 7\right]y=-4*8+5*12\)
\(y= \frac{5 \cdot 12-4 \cdot 8}{5 \cdot 7-4 \cdot 3}\)
\(\{ \frac{7 \cdot \left(5 \cdot x+3 \cdot y\right)=7 \cdot 8}{-\left(3\right) \cdot \left(4 \cdot x+7 \cdot y\right)=-\left(3\right) \cdot 12}\)
\(\{ \frac{7*5x+21 \cdot y=7 \cdot 8}{-\left(3\right) \cdot 4 \cdot x-21 \cdot y=-\left(3\right) \cdot 12}\)
\(\left[7 \cdot 5-3 \cdot 4\right]x=7*8-3*12\)
\(x=\frac{7 \cdot 8-3 \cdot 12}{5 \cdot 7-4 \cdot 3} \)
Notemos que lso denominadores de \(y\) y de \(x\) son iguales: \(5(7)-4(3)\).Este número se llama determinante de la matriz de coeficientes del sistema:
\( \left( \begin{array}{ccc} 5 & 3\\4 & 7\\ \end{array} \right)\)
Conocer el determinante de una matriz es importante por que nos lleva a otro método para resolver sistemas de ecuaciones lineales, llamado la regla de Cramer.
A cada matriz de orden \(2*2\), le corresponde un número real llamado determinante de A. Si \(A=\left( \begin{array}{ccc} a & b\\c & d\\ \end{array} \right)\), el determinante de A es el número ad-bc. Este número lo denotamos det A.
Hallemos el determinante de \(A=\left( \begin{array}{ccc} -\left(3\right) & 8\\6 & 5\\ \end{array} \right)\) y de \(B=\left( \begin{array}{ccc} 11 & 7\\7 & 4\\ \end{array} \right)\)
\(det\,A=-3*5-6*8=-15-48=-63\)
\(det\,B=11*4-7*7=44-49=-5\)
En realidad, para cualquier matriz de dimensiones \(n*n\), existe el determinante. A continuación daremos el método para hallarlo cuando es uan matriz \(3*3\) En este grado no estudiaremos el caso de matrices de mayor diemensión.
MÉTODO PARA CALCULAR EL DETERMINANTE DE UNA MATRIZ 3*3
Sea \( \left( \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{21} & a_{22} & a_{23}\\a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{array} \right) \)
1. Repetimos las primeras dos columnas de la matriz dada, inmediatamente después de las originales y en el mismo orden.Estos datos los escribimos entre dos barras verticales \(||\).
\( \left( \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{11} & a_{12}\\a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{21} & a_{22}\\a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{31} & a_{32}\\ \end{array} \right) \)
2. Calculamos los productos de los números en cada una de las tres diagonales, empezando por la esquina superior izquierda, y adicionamos los resultados.
\(a_{11}*a_{22}*a_{33}+a_{12}*a_{23}*a_{31}+a_{13}*a_{21}*a_{32}\)
3. Calculamos los productos de los números de cada una de las 3 diagonales, empezando por la esquina inferior izquierda, y adicionamos los resultados.
\(a_{31}*a_{22}*a_{13}+a_{32}*a_{23}*a_{11}+a_{33}*a_{21}*a_{12}\)
4. Calculamos la diferencia entre el número hallado en el paso dos y el del paso tres.
\((a_{11}*a_{22}*a_{33}+a_{12}*a_{23}**a_{31}+a_{13}*a_{21}*a_{12})-(a_{31}*a_{22}*a_{13}+a_{32}*a_{23}*a_{11}+a_{33}*a_{21}*a_{12})\)
Hallemos el determinante de la matriz \(A= \left( \begin{array}{ccc} 1 & -\left(3\right) & 3\\4 & 2 & 0\\-\left(2\right) & 7 & 5\\ \end{array} \right) \)
\(-12+0-60=-72\)
\( \left( \begin{array}{ccc} 1 & -\left(3\right) & 3 & 1 & -\left(3\right)\\4 & 2 & 0 & 4 & 2\\-\left(2\right) & 7 & 5 & -\left(2\right) & 7\\ \end{array} \right) \)
\(10+0+84=94\)
\(det\,A=94-(-72)=166\)
Es importante tener en cuenta que este método solo funciona para matrices de orden \(3*3\).
PREGUNTA: ¿Cuál es el determinante de la matriz \(A=\left( \begin{array}{ccc} -\left(5\right) & 4\\-\left(3\right) & 2\\ \end{array} \right)\)?