MATRICES Y TRANSFORMACIONES
Tamaño y escala:
La figura del centro es el cubo original que tenemos. La figura de la izquierda es una reducción que dio origen a un cubo semejante al del centro y la figura de la derecha es una versión ampliada de la figura del centro.
Modificaciones como las anteriores podemos llevarlas a cabo en figuras geométricas sencillas, utilizando matrices. Estos cambios corresponden a algunas de las transformaciones que hemos estudiado previamente en geometría.
Una transformación entre dos subconjuntos de puntos del plano se es una correspondencia uno-a-uno, es decir, cada par de elementos del primer conjunto tiene imágenes diferentes en el segundo conjunto. Si el conjunto de puntos corresponde a una figura geométrica, llamamos imagen de la figura original a la figura resultante al hacer una transformación.
Las transformaciones que se estudiarán no conservan el tamaño o la forma de la figura original.
CAMBIO DE TAMAÑO:
Para cambiar solamente el tamaño de la figura y obtener una semejante a la original, debemos ampliar o reducir, en la misma proporción, todas las medidas de los lados y mantener los ángulos congruentes. Esto se logra, como vimos en el taller 15, tomando un punto de referencia y alejando o acercando cada vértice de la figura a dicho punto, sobre la recta que pasa porel punto y el vértice.
Por ejemplo, si tomando como referencia el punto \((0,0)\) en la figura, A´B´C´D´ es la figura de la reducción a la mitad de ABCD y A´´B´´C´´D´´ es la ampliación por tres de la figura ABCD.
Para \(K>0\), la transformación que le asigna a \((x,y)\) la pareja \((kx,ky)\) se llama cambio de tamaño con centro \((0,0)\) y magnitud k . La denotaremos por \(T_k\).
\(T_k:(x,y)\rightarrow(kx,ky)\)
Podemos hallar los vértices de las figuras transformadas usando la representación de ABCD por medio de matrices, el producto de matrices y el siguiente teorema.
La matriz que representa la transformación \(T_k\) es \( \left( \begin{array}{ccc} k & 0\\0 & k\\ \end{array} \right) \).
De esta manera tenemos que la matriz que representa \(T_3\) es \( \left( \begin{array}{ccc} 3 & 0\\0 & 3\\ \end{array} \right) \) y la que representa a \(T_{\frac{1}{2}}\) es \( \left( \begin{array}{ccc} \frac{1}{2} & 0\\0 & \frac{1}{2} \\ \end{array} \right) \), entonces:
La imagen bajo una transformación cambio de tamaño de una figura, es una figura semejante a la original.
CAMBIO DE ESCALA:
Cuando multiplicamos la abscisa de un punto por \(k\) y la ordenada por \(m\), con \(k\), \(m>0\) y \(k \neq m\) distorsionamos la figura original por que ha habido un cambio de escala.
En la siguiente figura hemos estirado horizontalmente el cuadrilátero ABCD y lo hemos encogido verticalmente para producir A´´´B´´´C´´D´´´. Comparemos las coordenadas de los vértices correspondientes de las dos figuras.
Observamos que se ha duplicado la abscisa de cada punto y se ha reducido a la mitad de cada coordenada.
Para dos números mayores que cero, \(k\) y \(m\), la transformación que le asigna cada punto \((x,y)\) el punto \((kx,my)\) se llama cambio de escala con magnitud horizontal k y la magnitud vertical m. La denotaremos por
\(E_{k,m}\).
\(E_{k,m}:(x,y)\rightarrow(kx,my)\)
La matriz que representa la transformación \(E_{k,m}\) es \( \left( \begin{array}{ccc} k & 0\\0 & m\\ \end{array} \right) \)
PREGUNTA: