LOS NÚMEROS REALES: IGUALDAD Y PROPIEDADES.
Reconoceremos el conjunto de los números reales como la unión de los racionales \(\mathbb{Q}\) e irracionales \(\mathbb{I}\).
Los números reales: igualdad y propiedades
En la vida práctica, al realizar mediciones (en la conmensurabilidad), basta con el manejo de los números racionales y sus operaciones. Sin embargo, como vimos en la primera unidad, existen números no racionales, y la no posibilidad de medir con el manejo de estos números da lugar a la existencia de los números irracionales.
Números racionales: Se llaman números racionales a todo número que puede representarse como el cociente se dos enteros, con denominador distinto de cero Ejemplos: \(2.1,\,\frac{3}{2},\, 1.0045,\, -0.353535\cdots,\frac{120}{42},\, 7\) ya que todos los valores dados anteriormente se pueden representar en forma de fracción así.
\(2.1=\frac{21}{10},\,\frac{3}{2},\,1.0045=\frac{10045}{1000},\,-0.3535= -\frac{35}{99},\,\frac{120}{42}=\frac{20}{7},\.7=\frac{14}{2}\)
La siguiente gráfica nos muestra la estructura de los números racionales:
Números irracionales: Un número es irracional si posee infinitas cifras decimales no periódicas, por tanto no se pueden expresar en forma de fracción.
El número irracional más conocido es \(\pi\), que se define como la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro.
\(\pi = 3.141592653589...\)
Ejemplos 1: \(1.2020020002\cdots,\,\pi,\,\sqrt{3},\,-\sqrt{2}\) tienen una representación decimal infinita no periódica. Como estudiamos en la unidad anterior, las expresiones decimales de los números nombrados son:
1.2020020002... = 1.2020020002.
\(\pi=3.141592653589\cdots\) (por defecto)
\(\sqrt{3}=1.732050808\cdots\) (por defecto)
\(\sqrt{2}=-1.414213562\cdots\) (por exceso)
Todos los números racionales e irracionales conforman los números reales \(\mathb{R}\); de esa forma, un número real siempre tiene una representación decimal periódica, de período O (decimal finito) o de periodo diferente de cero, o una representación decimal no periódica
Los números racionales se representan sobre la recta, como seguramente lo has hecho. En la figura se representan los racionales: \(-\frac{3}{4},\, 3.45,\,\frac{1}{3}=0.3333\cdots\)
Sobre la recta también has representado algunos números irracionales En la siguiente figura se muestra la representación sobre la recta del irracional \(\sqrt{10}\)
Si sobre la recta señalamos un punto, es posible determinar el número real que le corresponde teniendo como base la unidad que se ha escogido.
En conclusión, podemos decir que:
A cada número real le corresponde un punto sobre la recta y a cada punto sobre la recta le corresponde un número real. Cuando sobre la recta se representan los números reales, la recta se llama recta real
Por otra parte, observemos los siguientes números y determinemos si son iguales o no lo son
\(\frac{3}{4},\, -0.75,\, -\frac{75}{100}\, y\, -\frac{150}{200}\)
Cuando se tienen dos números reales, de ellos se puede decir que son iguales o son diferentes. Dos números reales iguales pueden tener, sin embargo, diferente representación numérica.
En este caso \(\frac{3}{4},\, - 0.75,\, -\frac{75}{100}\, y\, -\frac{150}{200}\)
son números reales iguales.
En general, se puede asegurar que si \(r\) es un número real, entonces \(r= r\). Así:
\(7.3=7.300\cdots ,\,\sqrt{7}=\sqrt{7}\)
Además, si \(-\frac{3}{4}=-0.75\), entonces \(-0.75=-\frac{3}{4}\)
Si \(r\) es un número real y se cumple que \(r = 9.5\), entonces también se
cumple que \(9.5 =r\).
si \(\frac{4}{5}=\frac{80}{100}=0.8\) , entonces \(\frac{4}{5}=0.8\)
Si \(r\) y \(m\) son números reales y se cumple que \(r = 2.1888\) Y \(2.1888 = m\),
entonces se concluye que \(r = m\).
Los enunciados que hemos hecho para ciertos números reales, permiten conjeturar tres propiedades que se cumplen para todos los números reales y que más tarde podrás demostrar.
La igualdad entre números reales cumple las propiedades:
Reflexiva : todo número real es igual a si mismo, lo que quiere decir que si a es un número real, entonces a=a.
Simétrica: Si a,b son números reales y a=b, entonces b=a.
Transitiva: si a,b y c son números reales y a=b y b=c, entonces a=c.
Por cumplir estas tres propiedades se dice que la igualdad entre números reales es una relación de equivalencia
PREGUNTA: ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?