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2 Lección: La parábola.

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La parábola es una curva abierta y plana, que se define como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto denominado foco, y una recta denominada directriz, observando la figura, FP = PQ = r. El eje de la parábola es la recta perpendicular a la directriz, que pasa por el foco F. La distancia FD, del foco a la directriz, se denomina parámetro de la parábola, el punto medio del segmento FD, es el punto V, que se denomina vértice de la parábola.

ELEMENTOS DE UNA PARÁBOLA

En una parábola podemos reconocer los siguientes elementos:

elemparb

FIGURA 1. Elementos de una parábola

Eje de simetría: Recta que contiene al foco y al vértice, y además permite reflejar una rama de la parábola sobre la otra.

Vértice: punto de la curva que se intercepta con el eje de simetría. El vértice es el punto medio entre el foco y la recta directriz.

Foco: punto ubicado sobre el eje de simetría, que se encuentra a la misma distancia del vértice que la directriz.

Directriz: recta perpendicular al eje de simetría que se encuentra a la misma distancia del vértice que el foco.

Cuerda Focal: segmento que une dos puntos de la parábola, pasando por el foco.

Lado recto: es la cuerda focal perpendicular al eje de simetría. Su longitud es 4 veces la distancia del vértice al foco.

ECUACION CANÓNICA DE LA PARABOLA CON VERTICE EN EL PUNTO (0,0)

La ecuación canónica de una parábola con centro en C: (0,0) varía según su eje de simetría (x o y) y la orientación de sus ramas. Veamos:

para3.1

FIGURA 2. Diferentes ecuaciones canónicas

Donde $p$ es la distancia del vértice al foco.

Ejercicio práctico:

Encontrar la ecuación de la parábola cuyo foco es F: (3,0) y su directriz es x=-3

Solución:

1. Dibujamos sobre un plano cartesiano el foco y la directriz.

2. Como el vértice se encuentra en el punto medio (M) entre el foco y la directriz, observamos que el vértice está en (0,0).

3. Recordemos que p es la distancia del vértice al foco, luego p=3.

FIGURA 3. Parábola

Como la parábola tiene eje de simetría sobre el eje x, la ecuación canónica es de la forma $y^2=4px$ .

Luego: la ecuación canónica de la parábola es $y^2=12x$ .

ECUACIÓN CANÓNICA DE LA PARÁBOLA CON VÉRTICE EN EL PUNTO (h,k)

Consideremos una parábola con vértice en un punto (h,k) y eje de simetría paralelo al eje x. Veamos las coordenadas de sus componentes:

para4

FIGURA 4. Pabábola

Ahora veamos la variación en la ecuación canónica de cualquier parábola con vértice en (h,k):

para4.2

FIGURA 5. Ecuación canónica

Ejercicio práctico 1:

Encontrar la ecuación canónica de la parábola con foco F : (-2,1) y directriz $x=2$ .

Solución:

1. Graficamos en el plano cartesiano las componentes que nos indican:

F : (-2,1) y directriz $x=2$

e1l9

FIGURA 6. Ejemplo

Como el vértice es el punto medio entre la directriz y el foco, tenemos que V: (0,1). Además $p$ es la distancia entre el foco y el vértice, es decir, $p=2$ . Finalmente observamos que la parábola debe abrir sus ramas en el sentido directriz hacia foco, es decir, hacia el eje negativo de las $x$ .

Si nos remitimos al caso 4 de la gráfica de ecuaciones canónicas presentada anteriormente, obtenemos que la ecuación es de la forma $(y-k)^2=-4p(x-h)$ .

Y reemplazando tenemos $(y-1)^2=-4(2)(x-0)\rightarrow (y-1)^2=-8x$

Ejercicio práctico 2:

Dada la parábola con vértice en (2,-1) y directriz $y=2$ , determinar:

a) Ecuación canónica

b) Coordenadas del foco

Solución:

1. Elaboramos la gráfica en el plano cartesiano de los componentes que nos ofrece el ejercicio:

ej2l9

FIGURA 7. Ejemplo

2. Como el vértice es el punto medio entre la directriz y el foco, y el vértice está ubicado a 3 unidades de la directriz, entonces, el foco estará ubicado a 3 unidades debajo del vértice, por tanto, F: (2,-4)

3. Determinamos $p$ sabiendo que es la distancia del foco al vértice, $p=3$

4. Las ramas de la parábola abren en dirección directriz hacia foco, es decir, hacia el lado negativo de $y$ .

5. Si observamos la gráfica de las ecuaciones según la posición de la parábola vemos que corresponde a el caso 2: $(x-h)^2=-4p(y-k)$

Ahora remplazamos para obtener la ecuación canónica $(x-2)^2=-12(y+1)$

Ejercicio práctico 3:

Si la ecuación de la parábola es $(y+1)^2=6(x+2)$ , encontrar:

a) Coordenadas del vértice

b) Coordenadas del foco

Solución:

1. Por la forma de la ecuación, determinamos que es el caso 3 de al forma $(y-k)^2=4p(x-h)$ . Ahora comparamos para determinar que valores podemos concluir:

$(y+1)^2=6(x+2)$

Obtenemos que:

* $h=-2\, y\, k=-1$ que son las coordenadas del vértice V : (-2,-1)

* De la ecuación tenemos que $6=4p$ luego $p=\frac{6}{4}$ y abre sus ramas en el sentido positivo del eje x.

$p=\frac{3}{2}$ . Con este valor podemos hallar foco y directriz:

3. Determinamos $p$ sabiendo que es la distancia del foco al vértice, $p=3$

4. Las ramas de la parábola abren en dirección directriz hacia foco, es decir, hacia el lado negativo de $y$ .

5. Si observamos la gráfica de las ecuaciones según la posición de la parábola vemos que corresponde a el caso 2: $(x-h)^2=-4p(y-k)$

Ahora remplazamos para obtener la ecuación canónica $(x-2)^2=-12(y+1)$

Ejercicio práctico 3:

Si la ecuación de la parábola es $(y+1)^2=6(x+2)$ , encontrar:

a) Coordenadas del vértice

b) Coordenadas del foco

Solución:

1. Por la forma de la ecuación, determinamos que es el caso 3 de al forma $(y-k)^2=4p(x-h)$ . Ahora comparamos para determinar que valores podemos concluir:

$(y+1)^2=6(x+2)$

Obtenemos que:

* $h=-2\, y\, k=-1$ que son las coordenadas del vértice V : (-2,-1)

* De la ecuación tenemos que $6=4p$ luego $p=\frac{6}{4}$ y abre sus ramas en el sentido positivo del eje x.

$p=\frac{3}{2}$ . Con este valor podemos hallar foco y directriz:

ECUACIÓN GENERAL DE LA PARABOLA

Dependiendo del eje de simetría de la parábola tenemos dos casos:

1. Con eje de simetría paralelo al eje x es de la forma:

$y^2+Ay+Bx+C=0$ con $A,B,C\in R$ .

2. Con eje de simetría es paralelo al eje y, es de la forma:

$x^2+Ax+By+C=0$ con $A,B,C\in R$ .

Partiendo de la ecuación canónica podemos llegar a al ecuación general desarrollando el binomio cuadrado perfecto y realizando las demás operaciones posibles, ordenamos e igualamos a 0.

Ejemplo práctico 1:

Expresar la ecuación $(x-2)^2=3(y+1)$ en forma general.

Solución:

1. Desarrollamos el binomio cuadrado perfecto:

$(x-2)^2=3(y+1)$

$x^2-4x+4=3y+3$

2. Ordenamos términos e igualamos a 0.

$x^2-3y-4x+4-3=0$

$x^2-3y-4x+1=0$

Ejemplo práctico 2:

Encontrar la ecuación general de la parábola cuyo vértice es (1,-1) y su recta directriz es $y=1$

Solución:

1. Graficamos en el plano cartesiano los valores dados:

ej1le10

FIGURA 8. Ejemplo

2. Como la parábola siempre abre en dirección directriz hacia foco, identificamos que las ramas abren hacia el eje de $y$ negativo.

Recordemos que $p$ es la distancia del vértice a la directriz o del vértice al foco, tenemos que $p=2$ .

Así, su ecuación canónica será de la forma:

$(x-h)^2=-4p(y-k)$ y remplazamos conociendo V: (1,-1) y $p=2$ :

$(x-1)^2=-4*2(y+1)$

$(x-1)^2=-8(y+1)$

3. Desarrollamos el binomio cuadrado perfecto:

$x^2-2x+1=-8y-8$

4. Ordenamos términos e igualamos a 0:

$x^2-2x+8y+1+8=0$

$x^2-2x+8y+9=0$

Ejemplo 3:

Hallar las coordenadas del vértice y del foco y la ecuación de la recta de la directriz, de la parábola dada por : $y^2-8y-10x+36=0$

Solución:

Ordenamos la ecuación con el término cuadrático y su respectivo término lineal en el primer miembro; completamos el cuadrado y factorizamos, para determinar V y $p$ :

$y^2-8y=10x-36$

$y^2-8y+16=10x-36+16=10x-20$

$(y-4)^2=10(x-2)$

Por lo que las coordenadas del vértice son V : (2,4).

Para determinar las coordendas del foco necesitamos el valor de $p$ . Por la ecuación canónica sabemos que el foco está a $p$ unidades a la derecha del vértice y también que $10=4p,\, por tanto,\, p=\frac{5}{2}$

Así, las coordenadas del foco son $F\, :\, (2+\frac{5}{2},4)=\frac{9}{2},4)$

Además, la ecuación de la recta directriz está determinada por $p$ unidades a la izquierda de la abcisa del vértice:

$x=2-\frac{5}{2}=-\frac{1}{2}$

Luego: V : (2,4), F : $(\frac{9}{2},4)$ y $x=-\frac{1}{2}$ son los elementos pedidos.

Otra forma de encontrar los elementos de una parábola, es por medio de los resultados encontrados en la ecuación, como se desarrolla en el siguienete ejemplo.

Ejemplo 4:

Deteminar vértice, fofo, eje de simetría y recta directriz de la parábola dada por $x^2+4x+20y-56=0$

Solución:

Sabemos que A=-2h, B=-4p y C=h²+4pk. Así tenemos que:

$-2h=4,\, h=-2$

$-4p=20,\, p=-5$

$C=-56=(-2)^2+4(-5)k$

$-56=4-20k,\, -60=-20k,\, k=3$

En consecuencia V : ( -2,3) y como $p$ es negativo la curva abre sus ramas en el sentido negativo del eje $y$ (nótese que el término cuadrático es x), de donde el foco es F : ( -2, 3 - 5) = (-2, -2); además la recta directriz está arriba del foco y su ecuación será $x=k+p$ que, remplazando se llega a $x=8$ .

Luego: el vértice es V : ( -2,3), el foco es F : ( -2,-2), la ecuación de la recta directriz es $y=8$ y el eje de simetría es $x=-2$ .

En la gráfica podemos identificar los interceptos con el eje x, haciendo $y=0$ en la ecuación inicial, para encontrar que $x_1=-9,8\, y\, x_2=5,8$ . Además el intercepto con el eje y, haciendo $x=0$ en la ecuación inicial, es $y=2,8$