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3 Lección: La elipse.

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La elipse es el lugar geometrico de los puntos tales que la suma o sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante

En una elipse podemos reconocer los siguientes elementos:

Eje de simetría: rectas que permiten reflejar una mitad de la elipse sobre la otra. Un elipse tiene dos ejes:
- Eje mayor o eje focal, sobre el cual se encuentran los focos
- Eje menor o eje secundario.
Focos: Puntos fijos F1 y F2 ubicados sobre el eje mayor
Centro: punto medio entre los focos. Es además el punto en donde se intersectan el eje mayor y el eje menor
Vértices: puntos de la elipse que se intersectan con los ejes de simetría. Se les llama:
- Vértices menores, a los ubicados sobre el eje menor.
- Vértices mayores a los ubicados sobre el eje mayor.
Semiejes: Segmentos que unen el centro con uno de los vértices. Se les llama:
- Semieje mayor, si une el centro con un vértice mayor. Es el semieje mas largo y los llamamos a.
- Semieje mayor, si une el centro con un vértice menor. Es el semieje mas corto y los llamamos b.
La distancia del centro a un vértice mayor, que llamamos a, es igual a la distancia del foco a un vértice menor.

elemelip1 elemeli2

FIGURA 1. Elipse

Ejemplo 1:

Las coordenadas de los focos de una elipse son $F_1: ( 2,0)\, y\, F_2: ( -2,0)$ . Si la longitud del semieje mayor es 4, encontrar las coordenadas de los vèrtices mayores y de los vértices menores de la elipse.

Solución:

Al ubicar los puntos en el plano vemos que el eje mayor está ubicado sobre el eje x. El centro es (0,0) puesto que es el punto medio entre los focos.

Por tanto, los vértices mayores están a 4 unidades del centro.

Luego: los vértices mayores son $V_1: ( 4,0)\, y\, V_2: ( -4,0)$

Para encontrar las coordenadas de los vértices menores, debemos calcular b, sabiendo que a=4 y c=2.

Por tanto, $b^2=a^2-c^2$

$b=\sqrt{16-4}=\sqrt{12}$

Luego: lasc coordenadas de los vértices menores son

$V_3: (0,\sqrt{12}\, y\, V_3: ( 0.-\sqrt{12}$ )

Ejemplo 2:

Si las coordenadas de los vértices de una elipse son $V_1: ( 3,0);\, V_2: ( -3,0); V_3: ( 0,5); V_4: ( 0,-5)$ determinar:

a) centro

b) Longitud del semieje mayor

c) Coordenadas del foco

Solución:

Ubiquemos los vértices y trazamos la elipse

ejem1

FIGURA 2. Elipse

a) El centro es el punto medio entre los vértices mayores $(V_3,\, o\, V_4)$ o menores $(V_1,\, o\, V_2)$

Luego: el centro es C: (0,0)

b) La longitud del semieje mayor se determina por la longitud del segmento que une el centro con un vértice mayor $(V_3,\, o\, V_4)$

Luego: el semieje mayor $a$ mide 5

c) La longitud del semieje menor se determina por la longitud del segmento que une el centro con un vértice menor $(V_1,\, o\, V_2)$

Luego: el semieje mayor $b$ mide 3

d) Los focos deben ubicarse sobre el eje mayor. En este caso sobre el eje y, entre el centro y $V_3$ . o entre el centro y $V_4$

ejem2

FIGURA 3. Elipse

Como a = 5, $d(F,V_1)=5$

sabemos que b = 3 y $c=d(C,F)$

Por tanto, $c^2=a^2-b^2$ es decir $c^2=25-9=16$

Calculamos el valor de c: c = 4

Luego: las coordenadas de los focos son $F_1: ( 0,4)\, y\, F_2: ( 0,-4)$

La ecuación canónica de la elipse con eje mayor sobre el eje x y centro (0,0) es $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

La ecuación canónica de la elipse con eje mayor sobre el eje y y centro (0,0) es $\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1$

Para obtener la expresión analítica de una elipse, la ubicamos sobre los ejes coordenados. El eje mayor lo haremos coincidir con el eje x y el eje menor coincidir con el eje y.

elipcan1 elipcan2

FIGURA 4. Ecuación canónica de la elipse

Por la definición de elipse sabemos que para cualquier punto P de la elipse se cumple $\overline{PF_1}+ \overline{PF_2}$ es siempre constante.

En particular para el vértice $V_3$ , por semejanza de triángulos tenemos que $\overline{V_3 F_1} = \overline{V_3 F_2} = a$ (a es la distancia del vértice menor al foco).

Por tanto $\overline{V_3 F_1} + \overline{V_3 F_2} =2a$ y en general:

$\overline{PF_1} + \overline{PF_2} = 2a$ para cualquier punto P de la elipse.

De este modo: $\sqrt{(x-c)^2+y^2} + \sqrt{(x+c)^2+y^2} =2a$ .

La expresamos de la forma: $\sqrt{(x-c)^2+y^2} =2a - \sqrt{(x+c)^2+y^2}$ .

Elevamos al cuadrado y se obtiene:

$x^2+2cx+c^2+y^2=4a^2 +x^2 -2cx+c^2+y^2- 4 a \sqrt{(x-c)^2 + y^2}$

Esto es

$a^2 -cx = a \sqrt{(x-c)^2 + y^2}$

$a^4 - 2acx +c^2x^2= a^2x^2 - 2a^2cx+ a^2c^2+a^2y^2$

Es decir $a^2(a^2-c^2)= (a^2 -c^2) x^2 + a^2y^2$

Teniendo en cuenta que $a^2-c^2=b^2$ , dividimos por $a^2b^2$ y resulta $1= \frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2}$

De la ecuación canónica se puede concluir:

a es la longitud del semieje mayor que coincide con la longitud del segmento que une al foco con un vértice menor.
b es la longitud del semieje menor.
c es la distancia del foco al centro y se puede obtener por el teorema de Pitágoras $c= \sqrt{a^2 - b^2}$

Ejemplo:

Hallar los focos y la ecuación canónica de una elipse con vértices $V_1: (3,0), V_2: (-3,0), V_3: (0,7), V_4: (0,-7)$

Solución:

ejem3

FIGURA 5. Ecuación de la elipse

Vemos que el semieje menor está situado sobre el eje x y en consecuencia la ecuación será de la forma $\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1$

Además, los focos están sobre el eje $y$ y están dados por

$a^2-c^2=b^2\Leftrightarrow 49-c^2=9$

$c=\pm\sqrt{40}=\pm 2\sqrt{10}$

Luego: la ecuación pedida es $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{49}=1$

y los focos son $(0,\pm 2\sqrt{10})$

Ejemplo 2:

Encontrar la ecuación canónica de una elipse con focos $F_1: ( 4,0),\, F_2: ( -4,0)$ si los vértices determinados por el eje menor son $V_1: ( 0,\sqrt{7})\, y\, V_2: ( 0,-\sqrt{7})$

Solución:

Sabemos que si los focos están situados sobre el eje x, la ecuación canónica es de la forma $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ . tenemos que ubicar $a$ para completar la ecuación: $a^2-c^2=b^2$

$a^2=7+16=23$ por tanto $a=\pm\sqrt{23}$ es decir, los vértices son $V_1: (\sqrt{23}, 0)\, y\, V_2: (-\sqrt{23}, 0)$

Luego: la ecuación canónica es $\frac{x^2}{23}+\frac{y^2}{7}=1$

Ejemplo 3:

Determinar la ecuación canónica y los focos de una elipse con centro en (0,0), si uno de los vértices del eje mayor es $V_1: ( 0,1)$ y un vértice sobre el eje menor es $V_3: (\frac{1}{2}, 0)$ .

Solución:

Como a = 1 y $b=\frac{1}{2}$ , entonces:

Determinemos los focos, hallando c: $1-\frac{1}{4}=c^2\Leftrightarrow c=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$

Luego: los focos son $F_1: ( 0,\frac{\sqrt{3}}{2})\, y\, F_2: ( 0,-\frac{\sqrt{3}}{2})$

Como a = 1 y $b=\frac{1}{2}$ , entonces , $a^2=1\, y\, b^2=\frac{1}{4}$

Luego: Le ecuación canónica es $\frac{x^2}{\frac{1}{4}}+\frac{y^2}{1}=1$ o lo que es lo mismo $4x^2+y^2=1$

La ecuación canónica de una elipse con centro en un punto (h,k) y el eje mayor paralelo al eje x es $\frac{ (x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} =1$

Consideremos la elipse con el centro en el punto (h,k) y eje mayor paralelo al eje x.

Por la definición de elipse tenemos que:

$d(\overline{F_1P})+ d(\overline{F_2P})=2a$ . Es decir:

$\sqrt{(x-h+c)^2+(y-k)^2}+\sqrt{(x-h+c)^2+(y-k)^2}=2a$

$(x-h+c))^2+(y-k)^2=4a^2- 4a \sqrt{(x-h-c)^2+(y-k)^2} + (x-h-c)^2+(y-k)^2$

$(x-h+c)^2 - (x-h-c)^2 - 4a^2= -4a \sqrt{(x-h-c)^2+(y-k)^2}$

$(x-h+c-x+h+c) (x-h+c-x-h-c) - 4a^2= -4a \sqrt{(x-h-c)^2+(y-k)^2}$

$(c(x-h)-2a^2)^2=4a^2 ((x-h-c)^2 + (y-k)^2)$

que se reduce en: $(a^2-c^2)(x-h)^2 + a^2(y-k)^2 =a^2(a^2-c^2)$

Teniendo en cuenta que $a^2-c^2=b^2$ y dividiendo por $a^2b^2$ obtenemos la ecuación canónica. Análogamente,

La ecuación de una elipse con centro en un punto (h,k) y el eje mayor paralelo al eje y es: $\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} =1$

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FIGURA 6. Ecuación de una elipse con centro

De la misma manera que para las elipses con centro (0,0), la ecuación canónica nos permite hallar las longitudes del semieje mayor a y del semieje menor b.

Ejemplo:

Dada la ecuación $\frac{(x-1)^2}{4} + \frac{(y+3)^2}{9}$ , encontrar:

a) Coordenadas del centro

b) Coordenadas de los vértices

Solución:

a) De la ecuación podemos concluir que $h=1$ y $k=-3$

Luego: el centro de la elipse es $C: ( 1,-3)$

b) Como 9 > 4, concluimos que $a^2=9\, y\, b^2=4$ , ya que $a$ representa el semieje mayor y $b$ el semieje menor.

Por tanto, $a=3\, y\, b=2$ . Es decir, la distancia del centro a los vértices mayores es 3 y la distancia del centro a los vértices menores es 2

Luego:

Los vértices menores son: $V_1: ( 3,-3)\, y\, V_2: ( -1,-3)$
Los vértices mayores son: $V_3: ( 1,0)\, y\, V_4: ( 1,-6)$

La ecuación general de una elipse es:

$Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0$

para A,B,C,D,E en $\mathbb{R}$ .

Si desarrollamos la ecuación canónica de ka elipse con centro en el punto (h,k) y con eje mayor paralelo al eje x obtenemos:

$b^2(x-h)^2+ a^2(y-k)^2= a^2b^2$ , es decir,

$b^2x^2-2b^2xh+b^2h^2+ a^2y^2- 2a^2yk+a^2k^2-a^2b^2=0$

sustituimos

$b^2=A,a^2=B,-2b^2h=C,-2a^2k=D,a^2k^2- a^2b^2 +b^2h^2=E$ , constantes reales y obtenemos la ecuación de la elipse.

En el caso de la elipse la ecuación general tiene la misma forma para las elipses con ejes mayores paralelos a los ejes x o y, puesto que los coeficientes A y B de $x^2$ y $y^2$ siempre son diferentes. De lo contrario estaríamos hablando de una circunferencia.

Ejemplo:

Hallar las coordenadas del centro y de los focos de la elipse cuya ecuación general es $9x^2+4y^2-54x-40y+145=0$

Solución:

Expresamos la ecuación general en forma canónica organizando los trinomios y completando para factorizar:

$9(x^2-6x+\,\,)+4(y^2-10y+\,\,)=-145$

$9(x^2-6x+9)+4(y^2-10y+25)=-145+81+100$

Dividimos entre 36: $9(x-3)^2+4(y-5)^2=36$

$\frac{(x-3)^2}{4}+\frac{(y-5)^2}{9}=1$

Luego: las coordenadas del centro son (3,5)

Como $c^2=a^2-b^2\,\, entonces\,\, c^2=5,\, c=\pm\sqrt{5}$

Luego: las coordenadas de los focos son:

$F_1: (3,5+\sqrt{5})\, y\, F_2: ( 3,5-\sqrt{5}$

Ejemplo 2:

Hallar la ecuación de la elipse cuyos vértices mayores son (5,3) y (17,3) y las coordenadas de un foco son (8,3).

Solución:

Para hallar el centro calculamos el punto medio del segmento que une los vértices del eje mayor

$\bar{X}=\frac{5+17}{2}=\frac{22}{2}=11\,\,\,\bar{Y}=\frac{3+3}{2}=3$

Así el centro de la elipse es el punto (11,3).

Como el foco esta a 3 unidades del centro, es decir, $c=3$ y la distancia del centro a los vértices es de 6 unidades, es decir, $a=6$ . Entonces $b^2=\pm 27$

Luego: La ecuación de la elipse es: $\frac{(x-11)^2}{36}+\frac{(y-3)^2}{27}=1$