MATEMÁTICAS

ECUACIONES Y RESOLUCIÓN DE ECUACIONES

En matemáticas es frecuente encontrar expresiones como: \(18+2=15+5\); \(x+8=-7\); \(2\cdot x=-9\). Esta clase de expresiones reciben el nombre de igualdad.

Toda igualdad consta de dos miembros:

Veamos lo que  sucede con una igualdad cuando adicionamos o sustraemos el mismo número racional en ambos miembros de ella.

ñ  Adicionamos 6:      18 + 5 + 6 = 15 + 8 + 6

29       =        29

ñ  Sustraemos 3:         18 + 5 – 3 = 15 + 8 - 3

20      =        20

Si desarrollamos las operaciones de multiplicación y división en ambos miembros sucederá lo mismo.

Si en ambos miembros de una igualdad adicionamos, sustraemos o multiplicamos por el mismo número, la igualdad se conserva. Lo mismo sucede si dividimos ambos miembros por un mismo número diferente de cero.

Esta propiedad que se aplica a las igualdades recibe el nombre de propiedad uniforme de la adición, sustracción, multiplicación y división.

Si en una igualdad se encuentra un término desconocido, la igualdad se llama ecuación.

Son ejemplos de ecuaciones:  \(a+6=-12\)

\(2x+10=12\)

Plantear ecuaciones es una estrategia que se usa para la solución de problemas.

Ejemplo 1: El perímetro de un triángulo isósceles es de 45 m. Los lados congruentes miden 20 m cada uno. ¿Cuál es la longitud del tercer lado?

Podemos modelar el problemas con la ecuación:

\(20 + 20+ X = 45\)

Ejemplo 2: Cinco veces un número es 2645. ¿Cuál es el número?

\( 5 \cdot a=2645\)

Una forma de solucionar ecuaciones es aplicar las propiedades de las operaciones estudiadas anteriormente, junto con las propiedad uniforme.

Ejemplo 3: Solucionemos la ecuación \( a+6=-12\).

ñ  Apliquemos la propiedad uniforme sumando el opuesto de 6.

\( a+ 6+(-6) = -12 + (-6)\)

ñ  Asociamos:            \( a + [3+(-3)] = -12 + (-6)\)

ñ  Utilizamos la propiedad del opuesto aditivo.

\(a+0=-12+(-6)\)

ñ  Continuamos con la propiedad  modulativa de la adición.

\(a=-12+(-6)\)

ñ  Por último hallamos la suma.

\(a=-18\)

Comprobemos que ese valor de a hace verdadera la ecuación:

\(-18+6=-12\).

Ejemplo 4: Solucionemos la ecuación \(2x+10=12\).

ñ  Sumamos el opuesto de 10.     \(2x+10+(-10)=12+(-10)\)

ñ  Efectuando las operaciones tenemos: \(2x+0=2\)

ñ  Aplicando la propiedad modulativa de la adición \(2x=2\)

Para encontrar el valor de la variable X multiplicamos, en este caso, por el recíproco de 2, o sea \(\frac{1}{2}\).

\(\left(\frac{1}{2}\right) \cdot 2x = \left(\frac{1}{2}\right) \cdot 2\)

Efectuando las operaciones obtenemos:

\(x=1\).

EL PLANO CARTESIANO

El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis \((x)\), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, \((y)\); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen.

El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados. Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las "\(X\)" y uno de las "\(Y\)", respectivamente, esto indica que un punto se puede ubicar en el plano cartesiano con base en sus coordenadas, lo cual se representa como:

\(P (x, y)\)

En el video que se muestra a continuación aparece una explicación del plano cartesiano.