MULTIPLICACIÓN, PROPIEDADES Y DIVISIÓN DE RACIONALES
Para calcular el producto de números racionales multiplicamos los numeradores y los denominadores de las fracciones dadas
respectivamente.
Ejemplo.
Multipliquemos el racional: \(-\frac{5}{3} \cdot \frac{4}{5}\).
R/ \(-\frac{5}{3} \cdot \frac{4}{5}=\frac{-5 \time 4}{3 \time 5}= \frac{-20}{15}= -\frac{4}{3}\).
Analicemos la siguiente situación:
la figura representa el piso de una casa. \(\frac{3}{4}\) del área de éste tiene cemento y el resto baldosín.
A \(\frac{2}{3}\) del área de la parte cementada se le pondrá tapete. ¿qué parte del área del piso quedará con tapete?
\(\frac{6}{12}\) del área del piso tendrá tapete.
La operación que modela este resultado es la multiplicación de los racionales: \(\frac{2}{3}\time \frac{3}{4}= \frac{6}{12}\).
Observemos las siguientes figuras. Llamaremos fichas a las regiones que allí aparecen. Tomemos la ficha roja como unidad y respecto a ella respondemos:
En efecto la ficha azul representa \(\frac{1}{2}\) y la amarilla \(\frac{1}{4}\). Para saber cuántas fichas amarillas cubren la azul, debemos buscar cuantas veces cabe \(\frac{1}{4}\) en \(\frac{1}{2}\): \(\frac{1}{2} \div \frac{1}{4}=2\).
PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN EN LOS RACIONALES \(\mathb{Q}\).
A continuación se mostraran en el cuadro las propiedades que se cumplen de la multiplicación de números racionales.
Para dividir dos número racionales multiplicamos el dividendo por el reciproco del divisor.
Todo número racional que tenga numerador distinto de cero tiene recíproco o inverso.
El recíproco de un número racional \(\frac{a}{b}\) es \(\frac{b}{a}\).
De esta forma tenemos que:
\(\frac{1}{2} \div \frac{1}{6} = \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{1}= \frac{6}{2}=3\)
Ejemplo:
Los \(\frac{8}{9}\)de los ahorros de Francisco se han destinado para cuatro cuotas del carro que compró. ¿Qué parte de lo ahorrado corresponde a una cuota?¿En cuánto cambia lo ahorrado cada vez que paga una cuota?.
Para responder a la primera pregunta, debe repartirse lo ahorrado en cuatro cuotas:
\(\frac{8}{9}\div 4 = \frac{2}{9}\) o también \(\frac{8}{9}\time \frac{1}{4}= \frac{8 \time 1}{9 \time 4}= \frac{2 \time 4 \time 1}{9 \time 4}= \frac{2}{9}\)
Una cuota corresponde a \(\frac{2}{9}\) de lo ahorrado. Lo ahorrado, cada vez que paga una cuota, disminuye y el cambio en el ahorro es \(-\frac{2}{9}\).
Cuando multiplicamos o dividimos números racionales se tiene en cuenta las reglas de los signos usadas en los números enteros.
PREGUNTA: Realiza las siguientes operaciones sin ayuda de la calculadora: \(\frac{9}{7} \cdot \frac{8}{3} \, y \, \frac{9}{5} \div \frac{3}{7}\).