SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES: MÉTODO GRÁFICO.
El método gráfico consiste en la construcción de la gráfica de cada una de las ecuaciones del sistema.
Por consiguiente se necesita seguir ciertos pasos descritos a continuación:
1.- Se despeja la incógnita ( \(y\) )en ambas ecuaciones.
2.- Se construye para cada una de las dos ecuaciones de primer grado obteniendo la tabla de valores correspondientes.
3.- Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados.
4.- En este último paso hay tres posibilidades:
a) Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los únicos valores de las incógnitas (\(x,y\)). "Sistema consistente determinado".
b) Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que son las respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que coinciden ambas.
"Sistema indeterminado". c) Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución. "Sistema inconsistente".
Una compañía de ingenieros construye dos carreteras vecinales, como muestra la figura ¿en donde se debe instalar un semáforo que regule el transito en ambas vías ?
Podemos observar que el lugar mas adecuado par a instalarlo es en le cruce de las dos carreteras, es decir, en el punto de coordenadas \((6, 2)\) . Las trayectorias de las dos carreteras corresponden a las lineas rectas, por tanto, pueden representarse mediante ecuaciones:
Carretera \(A\) como \(2x+3y=18\)
Carretera \(B\) como \(-x+2y=-2\)
El par ordenado \((6,2)\) es solución de la ecuación \(2x+3y=18\), ya que \(2(6) + 3 (2)=18\). También solución de la ecuación \(-x + 2y =-2\), porque \(-(6) + 2(2) =-2\)
El par ordenado \((6,2)\) es el único par que es solución de las dos ecuaciones.
Las ecuaciones \(2x+3y=18, -x+2y=-2\) forman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, \(x\) y \(y\).
Dos o mas ecuaciones con las mismas incógnitas, forman un sistema de ecuaciones.
La solución de un sistema con las incógnitas \(x\) y \(y\) es el par ordenado (a,b) que hace verdaderas las dos ecuaciones.
Cuando un sistema de ecuaciones tiene solución, se dice que en consistente, de lo contrario, se llama inconsistente.
Ejemplo 1:
Hallemos, mediante gráficas la solución del sistema \(\binom{4x-y =5}{3x+4y=1}\)
Como primera instancia se grafícan las ecuaciones en un mismo plano cartesiano.
En la figura se observa que el único punto que pertenece a a ambas lineas rectas es \((-1,1)\); eso significa que la pareja \((-1,1)\) es la solución del sistema. Verifiquemos remplazando a \(x\) por -1 y a y por 1 en ambas ecuaciones se trata de un sistema consistente.
\(4x-y=-5\) \(3x+4y=1\)
\(4(-1)-(1)=-5\) \( 3(-1)+(4)(1)=1\)
cualquier otro par ordenado diferente de (-1,1) no es solución del sistema.
Ejemplo 2:
Solucionemos el sistema \(\binom{3x+2y=6}{3x+2y=-2}\).
Al trazar la gráfica de las ecuaciones en el mismo plano cartesiano,observamos que las dos rectas tienen igual pendiente\({-3 \over 2}\) y distinto punto de corte con el eje \(y\) \(( y- intersecto)\). Como las rectas son paralelas, no se intersecan, por tanto, no hay un par ordenado que sea solución de ambas ecuaciones. En estos casos se dice que el sistema no tiene solución. Es un sistema inconsistente.
PREGUNTA: De acuerdo a la siguiente afirmación "el sistema \(\binom{2x-3y=14}{4x-6y=7}\) es inconsistente” defina si es verdadera o falsa: