MÉTODOS DE IGUALACIÓN, SUSTITUCIÓN Y REDUCCIÓN
Método de sustitución:
Para obtener algebraicamente las soluciones empezamos por despejar \(y\) en una de las ecuaciones del sistema, y después se reemplazo \(y\) en la otra ecuación,obteniendo así una ecuación en la variable \(x\). Las soluciones de la ultima ecuación eran los únicos posibles valores de \(x\) que son solución del sistema. Los correspondientes valores de \(y\) se encontraron por medio de la ecuación que expresaba \(y\) en términos de \(x\). Este método algebraico es e llamado método de sustitución. Algunas veces resulta mas conveniente despejar \(x\) en lugar de \(y\), y después reemplazar x en la otra ecuación.
Descripción de los pasos a seguir para solucionar un sistema de ecuaciones por el método de sustitución:
Despejar una de las variables en una de las ecuaciones.
Sustituir en la otra ecuación la expresión obtenida en el paso (i) para obtener una ecuación en una variable.
Hallar las soluciones de la ecuación que se obtuvo en el paso(ii)
Usar las soluciones del paso (iii), así como al expresión obtenida en el paso (i) para determinar las soluciones del sistema.
Ejemplo:
Hallar las soluciones del sistema:
\( \binom{2x=y-3}{x=\frac{y-3}{2}}\)
Solución :
Podemos despejar \(x\) en la segunda ecuación de a manera siguiente
\(x^{2}-y=0\)
\(y-2x-3=0\)
Reemplazando x en la otra ecuación obtenemos:
\(({y-3 \over 2})^{2}-y=0\)
\({y^{2}-6y+9 \over 4}-y=0\)
\(y^{2}-6y+9-4y=0\)
\(y^{2}-10y+9=0\)
\((y-9)(y-1)=0\)
Por lo tanto el sistema tiene como soluciones \(y=9\) y \(y=1\)
Reemplazando en \(x={y-3 \over 2}\) obtenemos:
\(x={9-3 \over 2}\) y \(x={1-3 \over 2}\)
\(x=3\) y \(x=-1\)
Método de igualación :
El método de igualación consiste en una pequeña variante del antes visto de sustitución. Para resolver un sistema de ecuaciones por este método hay que despejar una incógnita, la misma, en las dos ecuaciones e igualar el resultado de ambos despejes, con lo que se obtiene una ecuación de primer grado. Las fases del proceso son las siguientes:
Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.
Se igualan las expresiones obtenidas y se resuelve la ecuación lineal de una incógnita que resulta.
Se calcula el valor de la otra incógnita sustituyendo la ya hallada en una de las ecuaciones despejadas de primer paso.
\(\binom{x + y = 600}{y = 2x}\)
Vamos a resolver el sistema por el método de igualación \(y\) ya que en la 2ª ecuación hay una incógnita, la \(y\), despejada, vamos a despejar la misma incógnita en la otra ecuación, con lo que tendremos:
\(y=2x\)
\(2x=600-x\)
\(2x+x=600\)
\(3x=600\)
\(x={600 \over 3}=200\)
\(y=600-x\)
Ahora sustituimos \(x = 200\) en una de las ecuaciones en las que estaba despejada la \(y\), con lo que tendremos:
\(y = 2xy = 400\)
Método de reducción:
Para solucionar un sistema de dos ecuaciones también podemos adicionar o sustraer las ecuaciones dadas, o sus equivalentes, con el fin de obtener una nueva ecuación con una sola incógnita.
Resolvamos el sistema
\(2x-3y=17\)
\(5x+3y=11\)
Adicionamos, miembro a miembro, los términos de las dos ecuaciones el término \(y\) se ha eliminado
se soluciona la ecuación resultante:
+\(5x+3y=11\)
______________
\(7x+0y=28\)
\(7x=28\)
\(x={28 \over 7}\)
\(x=4\)
Sustituimos el valor 4 para \(x\) en cualquiera de de las ecuaciones originales, para obtener el valor de \(y\).
En este caso elegimos la ecuación:
\(2(4)-3y=17\)
\(8-3y=17\)
\(-3y=1\)
\(y=-3\)
Ahora verificamos si los valores \(x=4\) y \(y=-3\) hacen verdaderas las ecuaciones dadas.
\(2x-3y=17\) \(5x+3y=11\)
\(2(4)-3(-3)=17\) \(5(4)+3(-3)=11\)
\(17=17\) \(11=11\)
Por tanto, \((4,-3)\) es la solución del sistema.
PREGUNTA: Dado el sistema
\(\binom{5x+3y=4}{3x-2y=10}\)
¿cuál es la solución?